Логарифмическое уравнение: основные формулы и приемы. Логарифмические уравнения. От простого - к сложному

Рассмотрим некоторые типы логарифмических уравнений, которые не так часто рассматриваются на уроках математики в школе, но широко используются при составлении конкурсных заданий, в том числе и для ЕГЭ.

1. Уравнения, решаемые методом логарифмирования

При решении уравнений, содержащих переменную и в основании и в показателе степени, используют метод логарифмирования. Если, при этом, в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо логарифмировать по основанию этого логарифма.

Пример 1.

Решить уравнение: х log 2 х+2 = 8.

Решение.

Прологарифмируем левую и правую части уравнения по основанию 2. Получим

log 2 (х log 2 х+2) = log 2 8,

(log 2 х + 2) · log 2 х = 3.

Пусть log 2 х = t.

Тогда (t + 2)t = 3.

t 2 + 2t – 3 = 0.

D = 16. t 1 = 1; t 2 = -3.

Значит log 2 х = 1 и х 1 = 2 или log 2 х = -3 и х 2 =1/8

Ответ: 1/8; 2.

2. Однородные логарифмические уравнения.

Пример 2.

Решить уравнение log 2 3 (х 2 – 3х + 4) – 3log 3 (х + 5) log 3 (х 2 – 3х + 4) – 2log 2 3 (х + 5) = 0

Решение.

Область определения уравнения

{х 2 – 3х + 4 > 0,
{х + 5 > 0. → х > -5.

log 3 (х + 5) = 0 при х = -4. Проверкой определяем, что данное значение х не является корнем первоначального уравнения. Следовательно можно разделить обе части уравнения на log 2 3 (х + 5).

Получим log 2 3 (х 2 – 3х + 4) / log 2 3 (х + 5) – 3 log 3 (х 2 – 3х + 4) / log 3 (х + 5) + 2 = 0.

Пусть log 3 (х 2 – 3х + 4) / log 3 (х + 5) = t. Тогда t 2 – 3 t + 2 = 0. Корни данного уравнения 1; 2. Возвратившись к первоначальной переменной, получим совокупность двух уравнений

Но с учётом существования логарифма нужно рассматривать лишь значения (0; 9]. Значит выражение в левой части принимает наибольшее значение 2 при х = 1. Рассмотрим теперь функцию у = 2 х-1 + 2 1-х. Если принять t = 2 x -1, то она примет вид у = t + 1/t, где t > 0. При таких условиях она имеет единственную критическую точку t = 1. Это точка минимума. У vin = 2. И достигается он при х = 1.

Теперь очевидно, что графики рассматриваемых функций могут пересекаться лишь один раз в точке (1; 2). Получается, что х = 1 единственный корень решаемого уравнения.

Ответ: х = 1.

Пример 5. Решить уравнение log 2 2 х + (х – 1) log 2 х = 6 – 2х

Решение.

Решим данное уравнение относительно log 2 х. Пусть log 2 х = t. Тогда t 2 + (х – 1) t – 6 + 2х = 0.

D = (х – 1) 2 – 4(2х – 6) = (х – 5) 2 . t 1 = -2; t 2 = 3 – х.

Получим уравнение log 2 х = -2 или log 2 х = 3 – х.

Корень первого уравнения х 1 = 1/4.

Корень уравнения log 2 х = 3 – х найдём подбором. Это число 2. Этот корень единственный, так как функция у = log 2 х возрастающая на всей области определения, а функция у = 3 – х – убывающая.

Проверкой легко убедится в том, что оба числа являются корнями уравнения

Ответ:1/4; 2.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное (х) и выражения с ним находятся под знаком логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений подразумевает, что вы уже знакомы с и .
Как решать логарифмические уравнения?

Самое простое уравнение имеет вид log a x = b , где a и b -некоторые числа,x - неизвестное.
Решением логарифмическое уравнения является x = a b при условии: a > 0, a 1.

Следует отметить, что если х будет находиться где-нибудь вне логарифма, например log 2 х = х-2, то такое уравнение уже называется смешанным и для его решения нужен особый подход.

Идеальным случаем является ситуация, когда Вам попадется уравнение, в котором под знаком логарифма находятся только числа, например х+2 = log 2 2. Здесь достаточно знать свойства логарифмов для его решения. Но такая удача случается не часто, поэтому приготовьтесь к более сложным вещам.

Но сначала, все-таки, начнём с простых уравнений. Для их решения желательно иметь самое общее представление о логарифме.

Решение простейших логарифмических уравнений

К таковым относятся уравнения типа log 2 х = log 2 16. Невооруженным глазом видно, что опустив знак логарифма получим х = 16.

Для того, чтобы решить более сложное логарифмическое уравнение, его обычно приводят к решению обычного алгебраического уравнения или к решению простейшего логарифмического уравнения log a x = b. В простейших уравнениях это происходит в одно движение, поэтому они и носят название простейших.

Вышеиспользованный метод опускания логарифмов является одним из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. В математике эта операция носит название потенцирования. Существуют определенные правила или ограничения для подобного рода операций:

• одинаковые числовые основания у логарифмов
• логарифмы в обоих частях уравнения находятся свободно, т.е. без каких бы то ни было коэффициентов и других разного рода выражений.

Скажем в уравнении log 2 х = 2log 2 (1- х) потенцирование неприменимо - коэффициент 2 справа не позволяет. В следующем примере log 2 х+log 2 (1 - х) = log 2 (1+х) также не выполняется одно из ограничений - слева логарифма два. Вот был бы один – совсем другое дело!

Вообщем, убирать логарифмы можно только при условии, что уравнение имеет вид:

log a (...) = log a (...)

В скобках могут находится совершенно любые выражения, на операцию потенцирования это абсолютно никак не влияет. И уже после ликвидации логарифмов останется более простое уравнение – линейное, квадратное, показательное и т.п., которое Вы уже, надеюсь, умеете решать.

Возьмем другой пример:

log 3 (2х-5) = log 3 х

Применяем потенцирование, получаем:

log 3 (2х-1) = 2

Исходя из определения логарифма, а именно, что логарифм - это число, в которое надо возвести основание, чтобы получить выражение, которое находится под знаком логарифма, т.е. (4х-1), получаем:

Опять получили красивый ответ. Здесь мы обошлись без ликвидации логарифмов, но потенцирование применимо и здесь, потому как логарифм можно сделать из любого числа, причем именно такой, который нам надо. Этот способ очень помогает при решении логарифмических уравнений и особенно неравенств.

Решим наше логарифмическое уравнение log 3 (2х-1) = 2 с помощью потенцирования:

Представим число 2 в виде логарифма, например, такого log 3 9, ведь 3 2 =9.

Тогда log 3 (2х-1) = log 3 9 и опять получаем все то же уравнение 2х-1 = 9. Надеюсь, все понятно.

Вот мы и рассмотрели как решать простейшие логарифмические уравнения, которые на самом деле очень важны, ведь решение логарифмических уравнений , даже самых страшных и закрученных, в итоге всегда сводится к решению простейших уравнений.

Во всем, что мы делали выше, мы упускали из виду один очень важный момент, который в последующем будет иметь решающую роль. Дело в том, что решение любого логарифмического уравнения, даже самого элементарного, состоит из двух равноценных частей. Первая – это само решение уравнения, вторая - работа с областью допустимых значений (ОДЗ). Вот как раз первую часть мы и освоили. В вышеприведенных примерах ОДЗ на ответ никак не влияет, поэтому мы ее и не рассматривали.

А вот возьмем другой пример:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Внешне это уравнение ничем не отличается от элементарного, которое весьма успешно решается. Но это не совсем так. Нет, мы конечно же его решим, но скорее всего неправильно, потому что в нем кроется небольшая засада, в которую сходу попадаются и троечники, и отличники. Давайте рассмотрим его поближе.

Допустим необходимо найти корень уравнения или сумму корней, если их несколько:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Применяем потенцирование, здесь оно допустимо. В итоге получаем обычное квадратное уравнение.

Находим корни уравнения:

Получилось два корня.

Ответ: 3 и -1

С первого взгляда все правильно. Но давайте проверим результат и подставим его в исходное уравнение.

Начнем с х 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Проверка прошла успешно, теперь очередь х 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Так, стоп! Внешне всё идеально. Один момент - логарифмов от отрицательных чисел не бывает! А это значит, что корень х = -1 не подходит для решения нашего уравнения. И поэтому правильный ответ будет 3, а не 2, как мы написали.

Вот тут-то и сыграла свою роковую роль ОДЗ, о которой мы позабыли.

Напомню, что под областью допустимых значений принимаются такие значения х, которые разрешены или имеют смысл для исходного примера.

Без ОДЗ любое решение, даже абсолютно правильное, любого уравнения превращается в лотерею - 50/50.

Как же мы смогли попасться при решении, казалось бы, элементарного примера? А вот именно в момент потенцирования. Логарифмы пропали, а с ними и все ограничения.

Что же в таком случае делать? Отказываться от ликвидации логарифмов? И напрочь отказаться от решения этого уравнения?

Нет, мы просто, как настоящие герои из одной известной песни, пойдем в обход!

Перед тем, как приступать к решению любого логарифмического уравнения, будем записывать ОДЗ. А вот уж после этого можно делать с нашим уравнением все, что душа пожелает. Получив ответ, мы просто выбрасываем те корни, которые не входят в нашу ОДЗ, и записываем окончательный вариант.

Теперь определимся, как же записывать ОДЗ. Для этого внимательно осматриваем исходное уравнение и ищем в нем подозрительные места, вроде деления на х, корня четной степени и т.п. Пока мы не решили уравнение, мы не знаем – чему равно х, но твердо знаем, что такие х, которые при подстановке дадут деление на 0 или извлечение квадратного корня из отрицательного числа, заведомо в ответ не годятся. Поэтому такие х неприемлемы, остальные же и будут составлять ОДЗ.

Воспользуемся опять тем же уравнением:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Как видим, деления на 0 нет, квадратных корней также нет, но есть выражения с х в теле логарифма. Тут же вспоминаем, что выражение, находящееся внутри логарифма, всегда должно быть >0. Это условие и записываем в виде ОДЗ:

Т.е. мы еще ничего не решали, но уже записали обязательное условие на всё подлогарифменное выражение. Фигурная скобка означает, что эти условия должны выполняться одновременно.

ОДЗ записано, но необходимо еще и решить полученную систему неравенств, чем и займемся. Получаем ответ х > v3. Теперь точно известно – какие х нам не подойдут. А дальше уже приступаем к решению самого логарифмического уравнения, что мы и сделали выше.

Получив ответы х 1 = 3 и х 2 = -1, легко увидеть, что нам подходит лишь х1= 3, его и записываем, как окончательный ответ.

На будущее очень важно запомнить следующее: решение любого логарифмического уравнения делаем в 2 этапа. Первый - решаем само уравнение, второй – решаем условие ОДЗ. Оба этапа выполняются независимо друг от друга и только лишь при написании ответа сопоставляются, т.е. отбрасываем все лишнее и записываем правильный ответ.

Для закрепления материала настоятельно рекомендуем посмотреть видео:

На видео другие примеры решения лог. уравнений и отработка метода интервалов на практике.

На это по вопросу, как решать логарифмические уравнения , пока всё. Если что то по решению лог. уравнений осталось не ясным или непонятным, пишите свои вопросы в комментариях.

Заметка: Академия социального образования (КСЮИ) - готова принять новых учащихся.

Примеры:

\(\log_{2}{⁡x} = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡{(x^2-3)}=\log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_{x+1}{(x^2+3x-7)}=2\)
\(\lg^2⁡{(x+1)}+10=11 \lg⁡{(x+1)}\)

Как решать логарифмические уравнения:

При решении логарифмического уравнения нужно стремиться преобразовать его к виду \(\log_a⁡{f(x)}=\log_a⁡{g(x)}\), после чего сделать переход к \(f(x)=g(x)\).

\(\log_a⁡{f(x)}=\log_a⁡{g(x)}\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Пример: \(\log_2⁡(x-2)=3\)

Очень важно! Этот переход можно делать только если:

Вы написали для исходного уравнения, и в конце проверите, входят ли найденные в ОДЗ. Если это не сделать, могут появиться лишние корни, а значит – неверное решение.

Число (или выражение) в слева и справа одинаково;

Логарифмы слева и справа - «чистые», то есть не должно быть никаких , умножений, делений и т.д. – только одинокие логарифмы по обе стороны от знака равно.

Например:

Заметим, что уравнения 3 и 4 можно легко решить, применив нужные свойства логарифмов.

Пример . Решить уравнение \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\)

Решение :

Ответ : \(5\)

Пример : Решить уравнение \(\log^2_2⁡{x}-3 \log_2{⁡x}+2=0\)

Решение :

Ответ : \(4\); \(2\).

Введение

Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого- «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18в. Л. Ф Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми. Термин «характеристика» ввёл Бригс.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Логарифмические уравнения и неравенства

1. Логарифмические уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

log a x = b . (1)

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a b .

Пример 1. Решить уравнения:

a) log 2 x = 3, b) log 3 x = -1, c)

Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 2 3 или x = 8; b) x = 3 -1 или x = 1 / 3 ; c)

Приведем основные свойства логарифма.

Р1. Основное логарифмическое тождество:

где a > 0, a ≠ 1 и b > 0.

Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

log a N 1 ·N 2 = log a N 1 + log a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Замечание. Если N 1 ·N 2 > 0, тогда свойство P2 примет вид

log a N 1 ·N 2 = log a |N 1 | + log a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N 1 ·N 2 > 0).

Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя

Замечание. Если

P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

log a N k = k log a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Замечание. Если k - четное число (k = 2s ), то

log a N 2s = 2s log a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Формула перехода к другому основанию:

в частности, если N = b , получим

Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства

и, если в (5) c - четное число (c = 2n ), имеет место

Перечислим и основные свойства логарифмической функции f (x ) = log a x :

1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

2. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.

3. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 < x 1 < x 2 log a x 1 < log a x 2), а при 0 < a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2 log a x 1 > log a x 2).

4. log a 1 = 0 и log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+∞), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x  (0;1) и отрицательна при x (1;+∞).

6. Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) - выпукла вниз.

Следующие утверждения (см., например, ) используются при решении логарифмических уравнений.

Инструкция

Запишите заданное логарифмическое выражение. Если в выражении используется логарифм 10, то его запись укорачивается и выглядит так: lg b - это десятичный логарифм. Если же логарифм имеет в виде основания число е, то записывают выражение: ln b – натуральный логарифм. Подразумевается, что результатом любого является степень, в которую надо возвести число основания, чтобы получилось число b.

При нахождении от суммы двух функций, необходимо просто их по очереди продифференцировать, а результаты сложить: (u+v)" = u"+v";

При нахождении производной от произведения двух функций, необходимо производную от первой функции умножить на вторую и прибавить производную второй функции, умноженную на первую функцию: (u*v)" = u"*v+v"*u;

Для того, чтобы найти производную от частного двух функций необходимо, из произведения производной делимого, умноженной на функцию делителя, вычесть произведение производной делителя, умноженной на функцию делимого, и все это разделить на функцию делителя возведенную в квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Если дана сложная функция, то необходимо перемножить производную от внутренней функции и производную от внешней. Пусть y=u(v(x)), тогда y"(x)=y"(u)*v"(x).

Используя полученные выше , можно продифференцировать практически любую функцию. Итак, рассмотрим несколько примеров:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2*x));
Также встречаются задачи на вычисление производной в точке. Пусть задана функция y=e^(x^2+6x+5), нужно найти значение функции в точке х=1.
1) Найдите производную функции: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Вычислите значение функции в заданной точке y"(1)=8*e^0=8

Видео по теме

Полезный совет

Выучите таблицу элементарных производных. Это заметно сэкономит время.

Источники:

• производная константы

Итак, чем же отличается иррациональное уравнение от рационального? Если неизвестная переменная находиться под знаком квадратного корня, то уравнение считается иррациональным.

Инструкция

Основной метод решения таких уравнений - метод возведения обоих частей уравнения в квадрат. Впрочем. это естественно, первым делом необходимо избавиться от знака . Технически этот метод не сложен, но иногда это может привести к неприятностям. Например, уравнение v(2х-5)=v(4х-7). Возведя обе его стороны в квадрат, вы получите 2х-5=4х-7. Такое уравнение решить не составит труда; х=1. Но число 1 не будет являться данного уравнения . Почему? Подставьте единицу в уравнение вместо значения х.И в правой и в левой части будут содержаться выражения, не имеющие смысла, то есть . Такое значение не допустимо для квадратного корня. Поэтому 1 - посторонний корень, и следовательно данное уравнение не имеет корней.

Итак, иррациональное уравнение решается с помощью метода возведения в квадрат обоих его частей. И решив уравнение, необходимо обязательно , чтобы отсечь посторонние корни. Для этого подставьте найденные корни в оригинальное уравнение.

Рассмотрите еще один .
2х+vх-3=0
Конечно же, это уравнение можно решить по той же , что и предыдущее. Перенести составные уравнения , не имеющие квадратного корня, в правую часть и далее использовать метод возведения в квадрат. решить полученное рациональное уравнение и корни. Но и другой , более изящный. Введите новую переменную; vх=y. Соответственно, вы получите уравнение вида 2y2+y-3=0. То есть обычное квадратное уравнение. Найдите его корни; y1=1 и y2=-3/2. Далее решите два уравнения vх=1; vх=-3/2. Второе уравнение корней не имеет, из первого находим, что х=1. Не забудьте, о необходимости проверки корней.

Решать тождества достаточно просто. Для этого требуется совершать тождественные преобразования, пока поставленная цель не будет достигнута. Таким образом, при помощи простейших арифметических действий поставленная задача будет решена.

Вам понадобится

• - бумага;
• - ручка.

Инструкция

Простейший таких преобразований – алгебраические сокращенного умножения (такие как квадрат суммы (разности), разность квадратов, сумма (разность) , куб суммы (разности)). Кроме того существует множество и тригонометрических формул, которые по своей сути теми же тождествами.

Действительно, квадрат суммы двух слагаемых равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе и плюс квадрат второго, то есть (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^2=a^2+2ab+b^2.

Упростите обеих

Общие принципы решения

Метод замены переменных

Решение интегралов второго рода

Подстановка пределов интегрирования