Как возвести число в стандартный вид. Как записать число в стандартном виде

Любая десятичная дробь может быть записана в виде a ,bc ... · 10 k . Такие записи часто встречается в научных расчетах. Считается, что работать с ними еще удобнее, чем с обычной десятичной записью.

Сегодня мы научимся приводить к такому виду любую десятичную дробь. Заодно убедимся, что подобная запись - это уже «перебор», и никаких преимуществ в большинстве случаев она не дает.

Для начала - небольшое повторение. Как известно, десятичные дроби можно умножать не только между собой, но и на обычные целые числа (см. урок « »). Особый интерес представляет умножение на степени десятки. Взгляните:

Задача. Найдите значение выражения: 25,81 · 10; 0,00005 · 1000; 8,0034 · 100.

Умножение выполняется по стандартной схеме, с выделением значащей части у каждого множителя. Кратко опишем эти шаги:

Для первого выражения: 25,81 · 10.

Значащие части: 25,81 → 2581 (сдвиг вправо на 2 цифры); 10 → 1 (сдвиг влево на 1 цифру);
Умножаем: 2581 · 1 = 2581;
Суммарный сдвиг: вправо на 2 − 1 = 1 цифру. Выполняем обратный сдвиг: 2581 → 258,1.

Для второго выражения: 0,00005 · 1000.

Значащие части: 0,00005 → 5 (сдвиг вправо на 5 цифр); 1000 → 1 (сдвиг влево на 3 цифры);
Умножаем: 5 · 1 = 5;
Суммарный сдвиг: вправо на 5 − 3 = 2 цифры. Выполняем обратный сдвиг: 5 → ,05 = 0,05.

Последнее выражение: 8,0034 · 100.

Значащие части: 8,0034 → 80 034 (сдвиг вправо на 4 цифры); 100 → 1 (сдвиг влево на 2 цифры);
Умножаем: 80 034 · 1 = 80 034;
Суммарный сдвиг: вправо на 4 − 2 = 2 цифры. Выполняем обратный сдвиг: 80 034 → 800,34.

Давайте немного перепишем исходные примеры и сравним их с ответами:

25,81 · 10 1 = 258,1;
0,00005 · 10 3 = 0,05;
8,0034 · 10 2 = 800,34.

Что происходит? Оказывается, умножение десятичной дроби на число 10 k (где k > 0) равносильно сдвигу десятичной точки вправо на k разрядов. Именно вправо - ведь число увеличивается.

Аналогично, умножение на 10 −k (где k > 0) равносильно делению на 10 k , т.е. сдвигу на k разрядов влево, что приводит к уменьшению числа. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения: 2,73 · 10; 25,008: 10; 1,447: 100;

Во всех выражениях второе число - степень десятки, поэтому имеем:

2,73 · 10 = 2,73 · 10 1 = 27,3;
25,008: 10 = 25,008: 10 1 = 25,008 · 10 −1 = 2,5008;
1,447: 100 = 1,447: 10 2 = 1,447 · 10 −2 = ,01447 = 0,01447.

Отсюда следует, что одну и ту же десятичную дробь можно записать бесконечным числом способов. Например: 137,25 = 13,725 · 10 1 = 1,3725 · 10 2 = 0,13725 · 10 3 = ...

Стандартный вид числа - это выражения вида a ,bc ... · 10 k , где a , b , c , ... - обычные цифры, причем a ≠ 0. Число k - целое.

8,25 · 10 4 = 82 500;
3,6 · 10 −2 = 0,036;
1,075 · 10 6 = 1 075 000;
9,8 · 10 −6 = 0,0000098.

Для каждого числа, записанного в стандартном виде, рядом указана соответствующая десятичная дробь.

Переход к стандартному виду

Алгоритм перехода от обычной десятичной дроби к стандартному виду очень прост. Но перед тем как его использовать, обязательно повторите, что такое значащая часть числа (см. урок «Умножение и деление десятичных дробей »). Итак, алгоритм:

Выписать значащую часть исходного числа и поставить после первой значащей цифры десятичную точку;
Найти образовавшийся сдвиг, т.е. на сколько разрядов сместилась десятичная точка по сравнению с исходной дробью. Пусть это будет число k ;
Сравнить значащую часть, которую мы выписали на первом шаге, с исходным числом. Если значащая часть (с учетом десятичной точки) меньше исходного числа, дописать множитель 10 k . Если больше - дописать множитель 10 −k . Это выражение и будет стандартным видом.

Задача. Запишите число в стандартном виде:

9280;

125,05;

0,0081;

17 000 000;

1,00005.

9280 → 9,28. Сдвиг десятичной точки на 3 разряда влево, число уменьшилось (очевидно, 9,28 < 9280). Результат: 9,28 · 10 3 ;
125,05 → 1,2505. Сдвиг - на 2 разряда влево, число уменьшилось (1,2505 < 125,05). Результат: 1,2505 · 10 2 ;
0,0081 → 8,1. В этот раз сдвиг произошел вправо на 3 разряда, поэтому число увеличилось (8,1 > 0,0081). Результат: 8,1 · 10 −3 ;
17000000 → 1,7. Сдвиг - на 7 разрядов влево, число уменьшилось. Результат: 1,7 · 10 7 ;
1,00005 → 1,00005. Сдвига нет, поэтому k = 0. Результат: 1,00005 · 10 0 (бывает и такое!).

Как видите, в стандартном виде представляются не только десятичные дроби, но и обычные целые числа. Например: 812 000 = 8,12 · 10 5 ; 6 500 000 = 6,5 · 10 6 .

Когда применять стандартную запись

По идее, стандартная запись числа должна сделать дробные вычисления еще проще. Но на практике заметный выигрыш получается только при выполнении операции сравнения. Потому что сравнение чисел, записанных в стандартном виде, выполняется так:

Сравнить степени десятки. Наибольшим будет то число, у которого эта степень больше;
Если степени одинаковые, начинаем сравнивать значащие цифры - как в обычных десятичных дробях. Сравнение идет слева направо, от старшего разряда к младшему. Наибольшим будет то число, в котором очередной разряд окажется больше;
Если степени десятки равны, а все разряды совпадают, то сами дроби тоже равны.

Разумеется, все это верно только для положительных чисел. Для отрицательных чисел все знаки меняются на противоположные.

Замечательно свойство дробей, записанных в стандартном виде, заключается в том, что к их значащей части можно приписывать любое количество нулей - как слева, так и справа. Аналогичное правило существует для других десятичных дробей (см. урок «Десятичные дроби »), но там есть свои ограничения.

Задача. Сравните числа:

8,0382 · 10 6 и 1,099 · 10 25 ;

1,76 · 10 3 и 2,5 · 10 −4 ;

2,215 · 10 11 и 2,64 · 10 11 ;

−1,3975 · 10 3 и −3,28 · 10 4 ;

−1,0015 · 10 −8 и −1,001498 · 10 −8 .

8,0382 · 10 6 и 1,099 · 10 25 . Оба числа положительные, причем у первого степень десятки меньше, чем у второго (6 < 25). Значит, 8,0382 · 10 6 < 1,099 · 10 25 ;
1,76 · 10 3 и 2,5 · 10 −4 . Числа снова положительные, причем степень десятки у первого из них больше, чем у второго (3 > −4). Следовательно, 1,76 · 10 3 > 2,5 · 10 −4 ;
2,215 · 10 11 и 2,64 · 10 11 . Числа положительные, степени десятки совпадают. Смотрим на значащую часть: первые цифры тоже совпадают (2 = 2). Различие начинается на второй цифре: 2 < 6, поэтому 2,215 · 10 11 < 2,64 · 10 11 ;
−1,3975 · 10 3 и −3,28 · 10 4 . Это отрицательные числа. У первого степень десятки меньше (3 < 4), поэтому (в силу отрицательности) само число будет больше: −1,3975 · 10 3 > −3,28 · 10 4 ;
−1,0015 · 10 −8 и −1,001498 · 10 −8 . Снова отрицательные числа, причем степени десятки совпадают. Также совпадают и первые 4 разряда значащей части (1001 = 1001). На 5 разряде начинается отличие, а именно: 5 > 4. Поскольку исходные числа отрицательные, заключаем: −1,0015 · 10 −8 < −1,001498 · 10 −8 .

Положительное число, записанное в стандартной форме , имеет вид

Число m является натуральным числом или десятичной дробью , удовлетворяет неравенству

и называется мантиссой числа, записанного в стандартной форме .

Число n является целым числом (положительным, отрицательным или нулем) и называется порядком числа, записанного в стандартной форме .

Например, число 3251 в стандартной форме записывается так:

Здесь число 3,251 является мантиссой, а число 3 является порядком.

Стандартная форма записи числа часто используется в научных расчетах и очень удобна для сравнения чисел .

Для того, чтобы сравнить два числа, записанных в стандартной форме, нужно сначала сравнить их порядки. Большим будет то число, порядок которого больше. Если же порядки сравниваемых чисел одинаковы, то нужно сравнить мантиссы чисел. Большим в этом случае будет то число, у которого мантисса больше.

Например, если сравнить между собой записанные в стандартной форме числа

и ,

то, очевидно, первое число больше второго, поскольку у него порядок больше.

Если же сравнить между собой числа

то, очевидно, что второе число больше, чем первое, поскольку порядки у этих чисел совпадают, а мантисса у второго числа больше.

На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике .

Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Хотели бы вы научиться записывать огромные или очень маленькие числа в простой форме? Эта статья содержит необходимые объяснения и очень четкие правила о том, как это сделать. Теоретический материал поможет разобраться в этой довольно легкой теме.

Очень большие значения

Допустим, есть некоторое число. Смогли бы вы быстро сказать, как оно читается или насколько велико его значение?

100000000000000000000

Бессмыслица, не так ли? Мало кто сможет справиться с таким заданием. Даже если и существует конкретное имя для такой величины, на практике его можно и не вспомнить. Вот почему вместо этого принято использовать стандартный вид. Это намного проще и быстрее.

Стандартный вид

Термин может означать много разных вещей, в зависимости от того, с какой областью математики мы имеем дело. В нашем случае это еще одно название научной записи числа.

Она действительно проста. Выглядит следующем образом:

В этих обозначениях:

a - это число, которое называется коэффициентом.

Коэффициент должен быть больше или равен 1, но меньше 10.

«x» - знак умножения;

10 является основой;

n - показатель, степень десятки.

Таким образом, полученное выражение читается как "a на десять в n-й степени".

Возьмем конкретный пример для полного понимания:

2 x 10 3

Умножив число 2 на 10 в третьей степени, получаем в результате 2000. То есть имеем пару равносильных вариантов записи одного и того же выражения.

Алгоритм преобразования

Возьмем некоторое число.

300000000000000000000000000000

В подсчетах использовать такое число неудобно. Попробуем привести его к стандартному виду.

Подсчитаем количество нулей, лежащих по правую сторону от тройки. Получим двадцать девять.
Отбросим их, оставив лишь однозначное число. Оно равно трем.
Допишем к результату знак умножения и десять в степени, найденной в пункте 1.

Вот так просто можно получить ответ.

Если бы перед первой ненулевой цифрой были бы еще другие, то алгоритм слегка бы изменился. Пришлось бы выполнять те же действия однако, величина показателя вычислялась бы по нулям слева и имела бы отрицательно значение.

0.0003 = 3 x 10 -4

Преобразование числа облегчает и ускоряет математические подсчеты, делает запись решения более компактной и наглядной.

Тема урока:

СТАНДАРТНЫЙ ВИД ЧИСЛА

Цели урока:

Познавательная:

1. Ознакомить учащихся с записью чисел в стандартном виде и полученные значения использовать при решении задач. Установить межпредметные связи.

2.Показать способы записи больших и малых чисел.

3.Формировать умение синтезировать и обобщать полученные знания.

4.Показать значимость темы при изучении смежных дисциплин.

5.Развивать у учащихся познавательный интерес к предмету.

Развивающая:

развивать у учащихся мышление, речь, память, умение выделить главное, продолжить развитие умения анализировать.

Воспитательная:

воспитывать общую культуру, активность, самостоятельность, умение общаться, патриотизм.

Тип урока:

урок объяснения и первичного закрепления новых знаний.

Оборудование:

маршрутный лист,

техническое оснащение урока – компьютеры,

компьютерная презентация в Microsoft PowerPoint.

Методы обучения:

по источнику приобретённых знаний – словесные, практические, наглядные;

по уровню познавательной активности – проблемный, частично-поисковый.

Форма урока: урок-практикум.

«Дорогу осилит идущий...!»

ХОД УРОКА:

Организация начала урока

Здравствуйте! Проверьте, пожалуйста, свою готовность к уроку.

А теперь обратимся к эпиграфу нашего урока «Дорогу осилит идущий…!»

Что означают эти слова?

Каждый из вас получит маршрутный лист, в котором будет фиксировать свою работу и в конце урока оценит её

(раздаются маршрутные листы)

Слайд №1

Витамины,минералы,продукты.

(Задание № 1 на МЛ)

Правильные ответы записаны на обратной стороне доски.

Самопроверка. Слайд №2-3

Набираем баллы.

II Сообщение темы и цели урока

Слайд №4

– Прежде чем приступить к изучению новой темы, выполните задания на первой странице маршрутного листа (проверка на экране). Если вы правильно выполнили задания, то вы должны получить слово – СТАНДАРТ.
Что такое стандарт? Где вы встречались с этим словом? Что оно означает?

(Самое первое задание на МЛ- таблица)

Слайд №5

Стандарт (от англ. – standard) Образец, эталон, модель, с которым сопоставляются, сравниваются подобные объекты, процессы. (Универсальный энциклопедический словарь). Т.е., когда говорят о стандарте, людям легче представить о чем идет речь. А мы сегодня будем говорить о стандартном виде числа. Итак, это тема сегодняшнего урока.

Слайд № 6

Актуализация знаний учащихся.

Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока

В окружающем нас мире мы сталкиваемся с очень большими и очень маленькими числами. Мы уже с вами знаем, как записывать большие и маленькие числа с помощью степени числа.

IV .Усвоение новых знаний

Слайды № 7-8

– Удобно ли записывать числа в таком виде? Почему? (Занимают много места, тратится много времени, сложно запоминать.)
– Как вы считаете, какой выход нашли из этой ситуации? (Записывать числа с помощью степеней.)

(Задание № 3 на МЛ)

Использование понятия делает запись выражения более краткой и компактной.

Особенно часто степени используются при записи больших чисел. Такие числа записывают с помощью степени с основанием 10. Например:

10 -1 = 0,1

10 0 = 1

10 1 = 10

10 2 = 100

10 3 = 1000

!!! Показатель степени с основанием 10 показывает, сколько нулей надо записать после цифры 1.

Например, радиус земного шара, приблизительно равный 6,37 млн. м, записывают в виде 6,37 10 6 м.

Степень 10 6 равна 1 000 000 поэтому:

6,37 10 6 м = 6 370 000 м

Кроме этого, запись чисел с помощью степени используется для записи натуральных чисел в виде

4 835 = 4 1000 + 8 100 + 3 10 + 5 = 4 10 3 + 8 10 2 + 3 10 + 5

!!! Каждое число, бóльшее 10, можно записать в стандартном виде:
a 10 n , где 1 ≤ a ≤ 10 и n - натуральное число.

Такая запись называется стандартным видом числа.

Слайд №9

Запишите массу Земли, используя степень числа. 598 10 25 г. Теперь запишите массу атома водорода. 17 10 –20 г. А можно ли по другому записать эти числа, используя степени? Попробуйте! 59,8 10 26 , 5,98 10 27 ; 0, 598 10 28 ; 5980 10 24 .
17 10 –20 ; 1,7 10 –19 ; 0,17 10 –18 ; 170 10 –21 ;

– Все результаты правильные. Но можно ли говорить о стандартной записи? Как быть? (Договориться о единой записи чисел.)
– Попробуйте обсудить с соседом, какая же запись должна быть единой, стандартной?
– Каким же должен быть множитель перед степенью числа 10, чтобы было удобно и ЗАПОМНИТЬ число и представить его?

– Откройте, пожалуйста, слайд №10

И учебники п 11 стр.104 ,найдите определение стандартного вида числа и запишите его в маршрутные листы.

– Стандартным видом числа называется запись вида а 10 n , где 1 < а < 10, n – целое. n – называют порядком числа.

– В стандартном виде можно записать любое положительное число!!!
Почему? (По определению. Т.к. первый множитель число, принадлежащее промежутку от }