Способы сравнения дробей. Сравнение дробей: правила, примеры, решения
Две неравные дроби подлежат дальнейшему сравнению для выяснения, какая дробь больше, а какая дробь меньше. Для сравнения двух дробей существует правило сравнения дробей, которое мы сформулируем ниже, а также разберем примеры применения этого правила при сравнении дробей с одинаковыми и разными знаменателями. В заключение покажем, как сравнить дроби с одинаковыми числителями, не приводя их к общему знаменателю, а также рассмотрим, как сравнить обыкновенную дробь с натуральным числом.
Навигация по странице.
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями по сути является сравнением количества одинаковых долей. К примеру, обыкновенная дробь 3/7 определяет 3 доли 1/7 , а дробь 8/7 соответствует 8 долям 1/7 , поэтому сравнение дробей с одинаковыми знаменателями 3/7 и 8/7 сводится к сравнению чисел 3 и 8 , то есть, к сравнению числителей.
Из этих соображений вытекает правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями : из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше, и меньше та дробь, числитель которой меньше.
Озвученное правило объясняет, как сравнить дроби с одинаковыми знаменателями. Рассмотрим пример применения правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример.
Какая дробь больше: 65/126 или 87/126 ?
Решение.
Знаменатели сравниваемых обыкновенных дробей равны, а числитель 87 дроби 87/126 больше числителя 65 дроби 65/126 (при необходимости смотрите сравнение натуральных чисел). Поэтому, согласно правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, дробь 87/126 больше дроби 65/126 .
Ответ:
Сравнение дробей с разными знаменателями
Сравнение дробей с разными знаменателями можно свести к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого лишь нужно сравниваемые обыкновенные дроби привести к общему знаменателю .
Итак, чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, нужно
- привести дроби к общему знаменателю;
- сравнить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.
Разберем решение примера.
Пример.
Сравните дробь 5/12 с дробью 9/16 .
Решение.
Сначала приведем данные дроби с разными знаменателями к общему знаменателю (смотрите правило и примеры приведения дробей к общему знаменателю). В качестве общего знаменателя возьмем наименьший общий знаменатель, равный НОК(12, 16)=48
. Тогда дополнительным множителем дроби 5/12
будет число 48:12=4
, а дополнительным множителем дроби 9/16
будет число 48:16=3
. Получаем 
и 
.
Сравнив полученные дроби, имеем . Следовательно, дробь 5/12 меньше, чем дробь 9/16 . На этом сравнение дробей с разными знаменателями завершено.
Ответ:
Получим еще один способ сравнения дробей с разными знаменателями, который позволит выполнять сравнение дробей без их приведения к общему знаменателю и всех сложностей, связанных с этим процессом.
Для сравнения дробей a/b и c/d , их можно привести к общему знаменателю b·d , равному произведению знаменателей сравниваемых дробей. В этом случае дополнительными множителями дробей a/b и c/d являются числа d и b соответственно, а исходные дроби приводятся к дробям и с общим знаменателем b·d . Вспомнив правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, заключаем, что сравнение исходных дробей a/b и c/d свелось к сравнению произведений a·d и c·b .
Отсюда вытекает следующее правило сравнения дробей с разными знаменателями
: если a·d>b·c
, то , а если a·d Рассмотрим сравнение дробей с разными знаменателями этим способом. Пример.
Сравните обыкновенные дроби 5/18
и 23/86
.
Решение.
В этом примере a=5
, b=18
, c=23
и d=86
. Вычислим произведения a·d
и b·c
. Имеем a·d=5·86=430
и b·c=18·23=414
. Так как 430>414
, то дробь 5/18
больше, чем дробь 23/86
.
Ответ:
Дроби с одинаковыми числителями и разными знаменателями, несомненно, можно сравнивать с помощью правил, разобранных в предыдущем пункте. Однако, результат сравнения таких дробей легко получить, сравнив знаменатели этих дробей. Существует такое правило сравнения дробей с одинаковыми числителями
: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель, и меньше та дробь, знаменатель которой больше. Рассмотрим решение примера. Пример.
Сравните дроби 54/19
и 54/31
.
Решение.
Так как числители сравниваемых дробей равны, а знаменатель 19
дроби 54/19
меньше знаменателя 31
дроби 54/31
, то 54/19
больше 54/31
.
Сравнение дробей. В этой статье разберём различные способы используя которые можно сравнить две дроби. Рекомендую посмотреть весь по дробям и изучать последовательно. Прежде чем показать стандартный алгоритм сравнения дробей давайте разберём некоторые случаи, в которых сразу глядя на пример можно сказать которая из дробей будет больше. Здесь нет особой сложности, немного аналитики и всё готово. Посмотрите на следующие дроби: В строке (1) сразу можно определить какая дробь больше, в строке (2) это сделать затруднительно и тут применим «стандартный» (или его можно назвать наиболее часто применяемым) подход для сравнения. Способ первый – аналитический.
1. Перед нами две дроби: Числители равны, знаменатели неравны. Какая из них больше? Ответ очевиден! Больше та, у которой меньше знаменатель, то есть три семнадцатых. Почему? Простой вопрос: Что больше – одна десятая часть от чего либо или одна тысячная? Конечно же, одна десятая. Получается, что при равных числителях больше та дробь, у которой меньше знаменатель. Не имеет значения стоят ли в числителях единицы или другие равные числа, суть не меняется. Дополнительно к этому можно добавить следующий пример: Какая из данных дробей больше (х положительное число)? На основании уже представленной информации не трудно сделать вывод. *Знаменатель первой дроби меньше, значит она больше. 2. Теперь рассмотрим вариант когда в одной из дробей числитель больше знаменателя. Пример: Понятно, что первая дробь больше единицы, так как числитель больше знаменателя. А вторая дробь меньше единицы, поэтому без вычислений и преобразований можем записать: 3. При сравнении некоторых обыкновенных неправильных дробей явно видно, что у одной из них целая часть больше. Например: В первой дроби целая часть равна трём, а во второй единице, поэтому: 4. В некоторых примерах также явно видно какая дробь больше, например: Видно, что первая дробь меньше 0,5. Почему? Если выразить подробно, то: Поэтому можно ставить знак сравнения: Способ второй. «Стандартный» алгоритм сравнения.
Правило! Чтобы сравнить две дроби, необходимо чтобы знаменатели были равны. Тогда сравнение осуществляется по числителям. Больше будет та дробь, у которой больше числитель. *Это и есть основное ВАЖНОЕ ПРАВИЛО, которым пользуются для сравнения дробей. Если даны две дроби с неравными знаменателями, то необходимо их привести к такому виду, чтобы они были равны. Для этого используется дроби. Сравним следующие дроби (знаменатели неравны): Приведём их:
Как привести дроби к равным знаменателям? Очень просто! Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй, а числитель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой. Ещё примеры: Обратите внимание, что знаменатель вычислять не обязательно (видно что они равны), для сравнения достаточно вычислить только числители. *Все дроби, которые мы рассмотрели выше (первый способ) можно сравнить также используя этот подход. На этом можно было бы закончить … Но есть ещё один «беспроигрышный» способ сравнения. Способ третий. Деление столбиком.
Посмотрите пример: Согласитесь, что для того чтобы привести к общему знаменателю и затем сравнить числители необходимо выполнить относительно объёмные вычисления. Используем следующий подход — выполним деление столбиком: Как только мы обнаруживаем разницу в результате, то процесс деления можно остановить. Вывод: так как 0,12 больше чем 0,11, то вторая дробь будет больше. Таким образом, можно поступать со всеми дробями. На этом всё. С уважением, Александр. В повседневной жизни нам часто приходится сравнивать дробные величины. Чаще всего это не вызывает каких-либо трудностей. Действительно, всем понятно, что половина яблока больше, чем четверть. Но когда необходимо записать это в виде математического выражения, это может вызвать затруднения. Применяя следующие математические правила, вы легко можете справиться с этой задачей. Такие дроби сравнивать удобнее всего. В этом случае используйте правило: Из двух дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителя, большей будет та, числитель которой больше, а меньшей – та, числитель которой меньше.
Например, сравнить дроби 3/8 и 5/8. Знаменатели в этом примере равны, следовательно, применяем это правило. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8. И действительно, если разрезать две пиццы на 8 долей, то 3/8 доли всегда меньше, чем 5/8. В этом случае сравнивают размеры долей-знаменателей. Следует применять правило: Если у двух дробей числители равны, то больше та дробь, знаменатель которой меньше.
Например, сравнить дроби 3/4 и 3/8. В этом примере числители равны, значит, используем второе правило. У дроби 3/4 знаменатель меньше, чем у дроби 3/8. Следовательно 3/4>3/8 И действительно, если вы съедите 3 куска пиццы, разделенной на 4 части, то будете более сыты, чем если бы съели 3 куска пиццы, разделенной на 8 частей. Применяем третье правило: Сравнение дробей с разными знаменателями нужно привести к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого необходимо привести дроби к общему знаменателю и использовать первое правило.
Например, необходимо сравнить дроби и . Для определения большей дроби приведем эти две дроби к общему знаменателю: Задачи урока:
Этапы урока:
1. Организационный.
Начнем урок словами французского писателя
А.Франса: “Учиться можно весело….Чтобы
переварить знания, надо поглощать их с
аппетитом”. Последуем этому совету, постараемся быть
внимательными, будем поглощать знания с большим
желанием, т.к. они пригодятся нам в дальнейшем. 2. Актуализация знаний учащихся.
1.)Фронтальная устная работа учащихся. Цель: повторить пройденный материал,
требующийся при изучении нового: А) правильные и неправильные дроби; (Проводится работа с файлами. Учащиеся имеют их
в наличии на каждом уроке. На них пишут ответы
фламастером, а за тем ненужная информация
стирается.) Задания для устной работы.
1. Назвать лишнюю дробь среди цепочки: А) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7. 2. Привести дроби к новому знаменателю 30: 1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10. Найти наименьший общий знаменатель дробей: 1/5 и 2/7; 3/4 и 1/6; 2/9 и 1/2. 2.) Игровая ситуация. Ребята, наш знакомый клоун (учащиеся
познакомились с ним в начале учебного года)
попросили меня помочь решить ему задачу. Но я
считаю, что вы, ребята, сможете без меня помочь
нашему другу. А задача следующая. “Сравнить дроби: а) 1/2 и 1/6; Ребята, чтобы помочь клоуну, чему мы должны
научиться? Цель урока, задачи (учащиеся формулируют
самостоятельно). Учитель помогает им, задавая вопросы: а) а какие из пар дробей мы сможем уже сравнить? б) какой инструмент для сравнения дробей нам
необходим? 3. Ребята в группах (в постоянных
разноуровневых). Каждой группе выдается задание и инструкция к
его выполнению. Первая группа:
Сравнить смешанные дроби: а) 1 1/2 и 2 5/6; и вывести правило равнения смешанных дробей с
одинаковыми и с разными целыми частями. Инструкция: Сравнение смешанных дробей (используется числовой луч) Вторая группа: Сравнить дроби с разными
знаменателями и разными числителями.
(использовать числовой луч) а) 6/7 и 9/14; Инструкция Третья группа: Сравнение дробей с единицей. а)2/3 и 1; Инструкция Рассмотрите все случаи: (используйте числовой
луч) а) Если числитель дроби равен знаменателю,
………; Сформулируйте правило. Четвертая группа: Сравните дроби: а) 5/8 и 3/8; Инструкция Используйте числовой луч. Сравните числители и сделайте вывод, начиная
словами: “Из двух дробей с одинаковыми
знаменателями……”. Пятая группа: Сравните дроби: а) 1/6 и 1/3; 0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__ Сформулируйте правило сравнения дробей с
одинаковыми числителями. Инструкция Сравните знаменатели и сделайте вывод, начиная
со слов: “Из двух дробей с одинаковыми
числителями………..”. Шестая группа: Сравните дроби: а) 4/3 и 5/6; б) 7/2 и 1/2, используя числовой луч 0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__ Сформулируйте правило сравнения правильных и
неправильных дробей. Инструкция. Подумайте, какая дробь всегда больше,
правильная или неправильная. 4. Обсуждение выводов, сделанных в группах. Слово каждой группе. Формулировка правил
учащихся и сравнение их с эталонами
соответствующих правил. Далее выдаются
распечатки правила сравнения различных видов
обыкновенных дробей каждому учащемуся. 5. Возвращаемся к задаче, поставленной в начале
урока. (Решаем задачу клоуна вместе). 6. Работа в тетрадях. Используя правила
сравнения дробей, учащиеся под руководством
учителя сравнивают дроби: а) 8/13 и 8/25; (возможно приглашение ученика к доске). 7. Учащимся предлагается выполнить тест по
сравнению дробей на два варианта. 1 вариант.
1) сравнить дроби: 1/8 и 1/12 а) 1/8 > 1/12; 2) Что больше: 5/13 или 7/13? а) 5/13; 3) Что меньше: 2\3 или 4/6? а) 2/3; 4) Какая из дробей меньше 1: 3/5; 17/9; 7/7? а) 3/5; 5) Какая из дробей больше 1: ?; 7/8; 4/3? а) 1/2; 6) Сравнить дроби: 2 1/5 и 1 7/9 а) 2 1/5<1 7/9; 2 вариант.
1) сравнить дроби: 3/5 и 3/10 а) 3/5 > 3/10; 2) Что больше: 10/12или1/12? а) равны; 3) Что меньше: 3/5 или 1/10? а) 3/5; 4) Какая из дробей меньше 1: 4/3;1/15;16/16? а) 4/3; 5) Какая из дробей больше 1: 2/5;9/8 ;11/12 ? а) 2/5; 6) Сравнить дроби: 3 1/4 и 3 2/3 а) 3 1/4=3 2/3; Ответы к тесту: 1 вариант: 1а, 2б, 3в, 4а, 5б, 6а 2 вариант: 2а, 2б, 3б, 4б, 5б, 6в 8. Еще раз возвращаемся к цели урока. Проверяем правила сравнения и даем
дифференцированное домашнее задание: 1,2,3 группы – придумать на каждое правило
сравнение по два примера и решить их. 4,5,6 группы - №83 а,б,в, №84 а,б,в (из учебника). Продолжаем изучать дроби. Сегодня мы поговорим об их сравнении. Тема интересная и полезная. Она позволит новичку почувствовать себя учёным в белом халате. Суть сравнения дробей заключается в том, чтобы узнать какая из двух дробей больше или меньше. Чтобы ответить на вопрос какая из двух дробей больше или меньше, пользуются , такими как больше (>) или меньше (<). Ученые-математики уже позаботились о готовых правилах, позволяющие сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше. Эти правила можно смело применять. Мы рассмотрим все эти правила и попробуем разобраться, почему происходит именно так. Дроби, которые нужно сравнить, попадаются разные. Самый удачный случай это когда у дробей одинаковые знаменатели, но разные числители. В этом случае применяют следующее правило: Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше. И соответственно меньше будет та дробь, у которой числитель меньше.
Например, сравним дроби и и ответим, какая из этих дробей больше. Здесь одинаковые знаменатели, но разные числители. У дроби числитель больше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем . Так и отвечаем. Отвечать нужно с помощью значка больше (>) Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на четыре части. пиццы больше, чем пиццы: Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая. Следующий случай, в который мы можем попасть, это когда числители дробей одинаковые, но знаменатели разные. Для таких случаев предусмотрено следующее правило: Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. И соответственно меньше та дробь, у которой знаменатель больше.
Например, сравним дроби и . У этих дробей одинаковые числители. У дроби знаменатель меньше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь . Так и отвечаем: Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на три и четыре части. пиццы больше, чем пиццы: Каждый согласиться с тем, что первая пицца больше, чем вторая. Нередко случается так, что приходиться сравнивать дроби с разными числителями и разными знаменателями. Например, сравнить дроби и . Чтобы ответить на вопрос, какая из этих дробей больше или меньше, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Затем можно будет легко определить какая дробь больше или меньше. Приведём дроби и к одинаковому (общему) знаменателю. Найдём (НОК) знаменателей обеих дробей. НОК знаменателей дробей и это число 6. Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Разделим НОК на знаменатель первой дроби . НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 6 на 2, получаем дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью: Теперь найдём второй дополнительный множитель. Разделим НОК на знаменатель второй дроби . НОК это число 6, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем дополнительный множитель 2. Записываем его над второй дробью: Умножим дроби на свои дополнительные множители: Мы пришли к тому, что дроби, у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как сравнивать такие дроби мы уже знаем. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше: Правило правилом, а мы попробуем разобраться почему больше, чем . Для этого выделим целую часть в дроби . В дроби ничего выделять не нужно, поскольку эта дробь уже правильная. После выделения целой части в дроби , получим следующее выражение: Теперь можно легко понять, почему больше, чем . Давайте нарисуем эти дроби в виде пицц: 2 целые пиццы и пиццы, больше чем пиццы. Вычитая смешанные числа, иногда можно обнаружить, что всё идёт не так гладко, как хотелось бы. Часто случается так, что при решении какого-нибудь примера ответ получается не таким, каким он должен быть. При вычитании чисел уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае будет получен нормальный ответ. Например, 10−8=2 10 — уменьшаемое 8 — вычитаемое 2 — разность Уменьшаемое 10 больше вычитаемого 8, поэтому мы получили нормальный ответ 2. А теперь посмотрим, что будет если уменьшаемое окажется меньше вычитаемого. Пример 5−7=−2 5 — уменьшаемое 7 — вычитаемое −2 — разность В этом случае мы выходим за пределы привычных для нас чисел и попадаем в мир отрицательных чисел, где нам ходить пока рано, а то и опасно. Чтобы работать с отрицательными числами, нужна соответствующая математическая подготовка, которую мы ещё не получили. Если при решении примеров на вычитание вы обнаружите, что уменьшаемое меньше вычитаемого, то можете пока пропустить такой пример. Работать с отрицательными числами допустимо только после их изучения. С дробями ситуация та же самая. Уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае можно будет получить нормальный ответ. А чтобы понять больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая, нужно уметь сравнить эти дроби. Например, решим пример . Это пример на вычитание. Чтобы решить его, нужно проверить больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. больше чем поэтому смело можем вернуться к примеру и решить его: Теперь решим такой пример Проверяем больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. Обнаруживаем, что она меньше: В этом случае разумнее остановиться и не продолжать дальнейшее вычисление. Вернёмся к этому примеру, когда изучим отрицательные числа. Смешанные числа перед вычитанием тоже желательно проверять. Например, найдём значение выражения . Сначала проверим больше ли уменьшаемое смешанное число, чем вычитаемое. Для этого переведём смешанные числа в неправильные дроби: Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Чтобы сравнить такие дроби, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Не будем подробно расписывать, как это сделать. Если испытываете затруднения, обязательно повторите . После приведения дробей к одинаковому знаменателю, получаем следующее выражение: Теперь нужно сравнить дроби и . Это дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше. У дроби числитель больше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь . А это значит, что уменьшаемое больше, чем вычитаемое А значит мы можем вернуться к нашему примеру и смело решить его: Пример 3.
Найти значение выражения Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое. Переведём смешанные числа в неправильные дроби: Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведем данные дроби к одинаковому (общему) знаменателю.Сравнение дробей с одинаковыми числителями
а вторая больше 0,5:
Как сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями
Сравнение дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями
Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями
Б) приведение дробей к новому знаменателю;
В) нахождение наименьшего общего знаменателя;
Б) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; 4/12.
б) 3/5 и 1/3;
в) 5/6 и 1/6;
г) 12/7 и 4/7;
д) 3 1/7 и 3 1/5;
е) 7 5/6 и 3 1/2;
ж) 1/10 и 1;
з) 10/3 и 1;
и) 7/7 и 1.”
б) 3 1/2 и 3 4/5
б) 5/11 и 1/22
б) 8/7 и 1;
в)10/10 и 1 и сформулировать правило.
б) Если числитель дроби меньше знаменателя,………;
в) Если числитель дроби больше знаменателя,……….
.
б) 1/7 и 4/7 и сформулируйте правило сравнения
дробей с одинаковым знаменателем.
б) 4/9 и 4/3, используя числовой луч:
б)11/42 и 3/42;
в)7/5 и 1/5;
г) 18/21и 7/3;
д) 2 1/2 и 3 1/5 ;
е) 5 1/2 и 5 4/3;
б) 1/8 <1/12;
в) 1/8=1/12
б) 7/13;
в) равны
б) 4/6;
в) равны
б) 17/9;
в) 7/7
б) 7/8;
в) 4/3
б) 2 1/5 = 1 7/9;
в) 2 1/5 >1 7/9
б) 3/5<3/10;
в) 3/5=3/10
б) 10/12;
в) 1/12
б) 1/10;
в) равны
б) 1/15;
в) 16/16
б) 9/8;
в) 11/12
б) 3 1/4 > 3 2/3;
в) 3 1/4 < 3 2/3Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями
Сравнение дробей с одинаковыми числителями
Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями
Вычитание смешанных чисел. Сложные случаи.
(1 оценок, в среднем: 5,00 из 5)
Loading...
