Урок математики "Двугранный угол. Многогранные углы". Трехгранный угол Вертикальные многогранные углы

Cлайд 1

Cлайд 2

Cлайд 3

Cлайд 4

Cлайд 5

Cлайд 6

Cлайд 7

Cлайд 8

Cлайд 9

Cлайд 10

Cлайд 11

Cлайд 12

Cлайд 13

Cлайд 14

Cлайд 15

Cлайд 16

Cлайд 17

Cлайд 18

Многогранные углы. Поверхность, образованную конечным набором плоских углов A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 с общей вершиной S, в которых соседние углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а не соседние углы не имеют общих точек, кроме общей вершины, будем называть многогранной поверхностью. Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом. Общая вершина S называется вершиной многогранного угла. Лучи SA1, …, SAn называются ребрами многогранного угла, а сами плоские углы A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 – гранями многогранного угла. Многогранный угол обозначается буквами SA1…An, указывающими вершину и точки на его ребрах.

Размеры: 960 х 720 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке геометрии, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как...». Скачать всю презентацию «Многогранный угол.ppt» можно в zip-архиве размером 329 КБ.

Углы в пространстве

«Угол между прямыми в пространстве» - В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: AB1 и BC1. Угол между прямыми в пространстве. Ответ: 90o. Ответ: 45o. В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: A1C1 и B1D1. В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: AA1 и BC. Ответ: В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: AA1 и BD1. В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: AA1 и BC1.

«Вписанный угол» - Построить прямой угол? Равных данному? Теорема: Определение: Опирается. Практическая работа. Хасанова Е.И., учитель математики, План урока: Вписанные углы. Доказательство: Дано: Итог урока. 8 класс. Б). Чем похожи и чем различаются углы АОВ и АСВ? МОУ "МСОШ № 16", г. Миасса, Челябинской области.

«Многогранный угол» - Измерение многогранных углов. Два плоских угла трехгранного угла равны 70° и 80°. Следовательно, ? ASB + ? BSC + ? ASC < 360° . Трехгранные углы. Таким образом, остается доказать неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC. Доказательство аналогично доказательству соответствующего свойства для трехгранного угла.

«Смежные углы» - Дано: ?AOC и?BOC – смежные. Доказать: ?AOC + ?BOC = 180?. Смежные и вертикальные углы. d. c. Теорема. Следствия из теоремы. b. А смежный развернутому? Дан произвольный?(аb), отличный от развернутого. Определение. a. Урок 11. Сумма смежных углов равна 180?. Доказательство.

Трёхгранные и многогранные углы: Трёхгранным углом называется фигура образованная тремя плоскостями, ограни- ченными тремя лучами, исходящими из одной точки и не лежащей в одной плоскости. Рассмотрим какой-нибудь плоский многоугольник и точку лежащую вне плоскости этого многоугольника. Проведём из этой точки лучи, проходящие через вершины многоугольника. Мы получим фигуру, которая называется многогранным углом.

Трёхгранный угол это часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости. Общая вершина О этих углов называется вершиной трёхгранного угла. Стороны углов называются рёбрами, плоские углы при вершине трёхгранного угла называются его гранями. Каждая из трёх пар граней трёхгранного угла образует двугранный угол плоскими угламидвугранный угол

; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, соста" title="Основные свойства трехгранного угла 1. Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. + > ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, соста" class="link_thumb"> 4 Основные свойства трехгранного угла 1. Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. + > ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, составленные плоскостями углов β и γ, α и γ, α и β. 3. Первая теорема косинусов для трёхгранного угла 4. Вторая теорема косинусов для трёхгранного угла ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, соста"> ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, составленные плоскостями углов β и γ, α и γ, α и β. 3. Первая теорема косинусов для трёхгранного угла 4. Вторая теорема косинусов для трёхгранного угла"> ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, соста" title="Основные свойства трехгранного угла 1. Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. + > ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, соста"> title="Основные свойства трехгранного угла 1. Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. + > ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, соста">

Грани многогранника - это многоугольники, которые его образуют. Ребра многогранника - это стороны многоугольников. Вершины многогранника - это вершины многоугольника. Диагональ многогранника - это отрезок, соединяющий 2 вершины, не принадлежащие одной грани.

Слайд 1

Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом. Общая вершина S называется вершиной многогранного угла. Лучи SA1, …, SAn называются ребрами многогранного угла, а сами плоские углы A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 – гранями многогранного угла. Многогранный угол обозначается буквами SA1…An, указывающими вершину и точки на его ребрах. Поверхность, образованную конечным набором плоских углов A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 с общей вершиной S, в которых соседние углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а несоседние углы не имеют общих точек, кроме общей вершины, будем называтьмногогранной поверхностью.

Слайд 2


В зависимости от числа граней многогранные углы бывают трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д.

Слайд 3

ТРЕХГРАННЫЕ УГЛЫ

Теорема. Всякий плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. Доказательство.Рассмотрим трехгранный угол SABC. Пусть наибольший из его плоских углов есть угол ASC. Тогда выполняются неравенства ASB ASC

Слайд 4


Свойство. Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°. Аналогично, для трехгранных углов с вершинами B и С имеют место неравенства: ABС

Слайд 5

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ

Многогранный угол называетсявыпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок.На рисунке приведены примеры выпуклого и невыпуклого многогранных углов. Свойство.Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°. Доказательство аналогично доказательству соответствующего свойства для трехгранного угла.

Слайд 6

Вертикальные многогранные углы

На рисунках приведены примеры трехгранных, четырехгранных и пятигранных вертикальных углов Теорема. Вертикальные углы равны.

Слайд 7

Измерение многогранных углов

Поскольку градусная величина развернутого двугранного угла измеряется градусной величиной соответствующего линейного угла и равна 180о, то будем считать, что градусная величина всего пространства, которое состоит из двух развернутых двугранных углов, равна 360о. Величина многогранного угла, выраженная в градусах, показывает какую часть пространства занимает данный многогранный угол. Например, трехгранный угол куба занимает одну восьмую часть пространства и, значит, его градусная величина равна 360о:8 = 45о. Трехгранный угол в правильной n-угольной призме равен половине двугранного угла при боковом ребре. Учитывая, что этот двугранный угол равен, получаем, что трехгранный угол призмы равен.

Слайд 8

Измерение трехгранных углов*

Выведем формулу, выражающую величину трехгранного угла через его двугранные углы. Опишем около вершины Sтрехгранного угла единичную сферу и обозначим точки пересечения ребер трехгранного угла с этой сферой A, B, C. Плоскости граней трехгранного угла разбивают эту сферу на шесть попарно равных сферических двуугольников, соответствующих двугранным углам данного трехгранного угла. Сферический треугольник ABC и симметричный ему сферический треугольник A"B"C" являются пересечением трех двуугольников.Поэтому удвоенная сумма двугранных углов равна 360о плюс учетверенная величина трехгранного угла, или  SA +SB + SC = 180о + 2SABC.

Слайд 9

Измерение многогранных углов*

Пусть SA1…An – выпуклый n-гранный угол. Разбивая его на трехгранные углы, проведением диагоналей A1A3, …, A1An-1 и применяя к ним полученную формулу, будем иметь:  SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1…An. Многогранные углы можно измерять и числами. Действительно, тремстам шестидесяти градусам всего пространства соответствует число 2π. Переходя от градусов к числам в полученной формуле, будем иметь: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.

Слайд 10

Упражнение 1

Может ли быть трехгранный угол с плоскими углами: а) 30°, 60°, 20°; б) 45°, 45°, 90°; в) 30°, 45°, 60°? Ответ: а) Нет; б) нет; в) да.

Слайд 11

Упражнение 2

Приведите примеры многогранников, у которых грани, пересекаясь в вершинах, образуют только: а) трехгранные углы; б) четырехгранные углы; в) пятигранные углы. Ответ: а) Тетраэдр, куб, додекаэдр; б) октаэдр; в) икосаэдр.

Слайд 12

Упражнение 3

Два плоских угла трехгранного угла равны 70° и 80°. В каких границах находится третий плоский угол? Ответ: 10о

Слайд 13

Упражнение 4

Плоские углы трехгранного угла равны 45°, 45° и 60°. Найдите величину угла между плоскостями плоских углов в 45°. Ответ: 90о.

Слайд 14

Упражнение 5

В трехгранном угле два плоских угла равны по 45°; двугранный угол между ними прямой. Найдите третий плоский угол. Ответ: 60о.

Слайд 15

Упражнение 6

Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. На его ребрах от вершины отложены равные отрезки OA, OB, OC. Найдите двугранный угол между плоскостью угла в 90° и плоскостью ABC. Ответ: 90о.

Слайд 16

Упражнение 7

Каждый плоский угол трехгранного угла равен 60°. На одном из его ребер отложен от вершины отрезок, равный 3 см, и из его конца опущен перпендикуляр на противоположную грань. Найдите длину этого перпендикуляра. Ответ: см.

Слайд 17

Упражнение 8

Найдите геометрическое место внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от его граней. Ответ: Луч, вершиной которого является вершина трехгранного угла, лежащий на линии пересечения плоскостей, делящих двугранные углы пополам.

Слайд 18

Упражнение 9

Найдите геометрическое место внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от его ребер. Ответ: Луч, вершиной которого является вершина трехгранного угла, лежащий на линии пересечения плоскостей, проходящих через биссектрисы плоских углов и перпендикулярных плоскостям этих углов.

Слайд 19

Упражнение 10

Для двугранных углов тетраэдра имеем: , откуда 70о30". Для трехгранных углов тетраэдра имеем: 15о45". Ответ: 15о45". Найдите приближенные значения трехгранных углов тетраэдра.

Слайд 20

Упражнение 11

Найдите приближенные значения четырехгранных углов октаэдра. Для двугранных углов октаэдра имеем: , откуда 109о30". Для четырехгранных углов октаэдра имеем: 38о56". Ответ: 38о56".

Слайд 21

Упражнение 12

Найдите приближенные значения пятигранных углов икосаэдра. Для двугранных углов икосаэдра имеем: , откуда 138о11". Для пятигранных углов икосаэдра имеем: 75о28". Ответ: 75о28".

Слайд 22

Упражнение 13

Для двугранных углов додекаэдра имеем: , откуда 116о34". Для трехгранных углов додекаэдра имеем: 84о51". Ответ: 84о51". Найдите приближенные значения трехгранных углов додекаэдра.

Слайд 23

Упражнение 14

В правильной четырехугольной пирамидеSABCD сторона основания равна 2 см, высота 1 см. Найдитечетырехгранный угол при вершине этой пирамиды. Решение:Указанные пирамиды разбивают куб на шесть равных пирамид с вершинами в центре куба. Следовательно, 4-х гранный угол при вершине пирамиды составляет одну шестую часть угла в 360о, т.е. равен 60о. Ответ: 60о.

Слайд 24

Упражнение 15

В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны 1, углы при вершине 90о. Найдитетрехгранный угол при вершине этой пирамиды. Решение:Указанные пирамиды разбивают октаэдр на восемь равных пирамид с вершинами в центре O октаэдра. Следовательно, 3-х гранный угол при вершине пирамиды составляет одну восьмую часть угла в 360о, т.е. равен 45о. Ответ: 45о.

Слайд 25

Упражнение 16

В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны 1, а высота Найдитетрехгранный угол при вершине этой пирамиды. Решение:Указанные пирамиды разбивают правильный тетраэдр на четыре равные пирамиды с вершинами в центре Oтетраэдра. Следовательно, 3-гранный угол при вершине пирамиды составляет одну четвертую часть угла в 360о, т.е. равен 90о. Ответ: 90о.

Посмотреть все слайды