Геометрические фигуры для детей. Круг. Геометрия круга

Круг, его части, их размеры и соотношения — вещи, с которыми ювелир постоянно сталкивается. Кольца, браслеты, касты, трубки, шары, спирали — много всего круглого приходится делать. Как же всё это посчитать, особенно если тебе посчастливилось в школе прогулять уроки геометрии?..

Давайте сначала рассмотрим, какие у круга бывают части и как они называются.

• Окружность — линия, ограничивающая круг.
• Дуга — часть окружности.
• Радиус — отрезок, соединяющий центр круга с какой-либо точкой окружности.
• Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
• Сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой.
• Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.

Интересующие нас величины и их обозначения:

Теперь посмотрим, какие задачи, связанные с частями круга, приходится решать.

• Найти длину развертки какой-либо части кольца (браслета). Задан диаметр и хорда (вариант: диаметр и центральный угол), найти длину дуги.
• Есть рисунок на плоскости, надо узнать его размер в проекции после сгибания в дугу. Заданы длина дуги и диаметр, найти длину хорды.
• Узнать высоту детали, полученной сгибанием плоской заготовки в дугу. Варианты исходных данных: длина дуги и диаметр, длина дуги и хорда; найти высоту сегмента.

Жизнь подскажет и другие примеры, а эти я привел только для того, чтобы показать необходимость задания каких-нибудь двух параметров для нахождения всех остальных. Вот этим мы и займемся. А именно, возьмем пять параметров сегмента: D, L, X, φ и H. Затем, выбирая из них все возможные пары, будем считать их исходными данными и путем мозгового штурма находить все остальные.

Чтобы зря не грузить читателя, подробных решений я приводить не буду, а приведу лишь результаты в виде формул (те случаи, где нет формального решения, я оговорю по ходу дела).

И еще одно замечание: о единицах измерения. Все величины, кроме центрального угла, измеряются в одних и тех же абстрактных единицах. Это значит, что если, к примеру, вы задаёте одну величину в миллиметрах, то другую не надо задавать в сантиметрах, а результирующие значения будут измеряться в тех же миллиметрах (а площади — в квадратных миллиметрах). То же самое можно сказать и про дюймы, футы и морские мили.

И только центральный угол во всех случаях измеряется в градусах и ни в чём другом. Потому что, как показывает практика, люди, проектирующие что-нибудь круглое, не склонны измерять углы в радианах. Фраза «угол пи на четыре» многих ставит в тупик, тогда как «угол сорок пять градусов» — понятна всем, так как это всего на пять градусов выше нормы. Однако, во всех формулах будет присутствовать в качестве промежуточной величины еще один угол — α. По смыслу это половина центрального угла, измеренная в радианах, но в этот смысл можно спокойно не вникать.

1. Даны диаметр D и длина дуги L

; длина хорды ;
высота сегмента ; центральный угол .

2. Даны диаметр D и длина хорды X

; длина дуги ;
высота сегмента ; центральный угол .

Поскольку хорда делит круг на два сегмента, у этой задачи не одно, а два решения. Чтобы получить второе, нужно в приведенных выше формулах заменить угол α на угол .

3. Даны диаметр D и центральный угол φ

; длина дуги ;
длина хорды ; высота сегмента .

4. Даны диаметр D и высота сегмента H

; длина дуги ;
длина хорды ; центральный угол .

6. Даны длина дуги L и центральный угол φ

; диаметр ;
длина хорды ; высота сегмента .

8. Даны длина хорды X и центральный угол φ

; длина дуги ;
диаметр ; высота сегмента .

9. Даны длина хорды X и высота сегмента H

; длина дуги ;
диаметр ; центральный угол .

10. Даны центральный угол φ и высота сегмента H

; диаметр ;
длина дуги ; длина хорды .

Внимательный читатель не мог не заметить, что я пропустил два варианта:

5. Даны длина дуги L и длина хорды X

7. Даны длина дуги L и высота сегмента H

Это как раз те два неприятных случая, когда у задачи нет решения, которое можно было бы записать в виде формулы. А задача-то не такая уж редкая. Например, у вас есть плоская заготовка длины L, и вы хотите согнуть ее так, чтобы ее длина стала X (или высота стала H). Какого диаметра взять оправку (ригель)?

Задача эта сводится к решению уравнений:
; — в варианте 5
; — в варианте 7
и хоть они и не решаются аналитически, зато легко решаются программным способом. И я даже знаю, где взять такую программу: на этом самом сайте, под именем . Всё то, что я тут длинно рассказываю, она делает за микросекунды.

Для полноты картины добавим к результатам наших вычислений длину окружности и три значения площадей — круга, сектора и сегмента. (Площади нам очень помогут при вычислении массы всяких круглых и полукруглых деталей, но об этом — в отдельной статье.) Все эти величины вычисляются по одним и тем же формулам:

длина окружности ;
площадь круга ;
площадь сектора ;
площадь сегмента ;

И в заключение еще раз напомню о существовании абсолютно бесплатной программы, которая выполняет все перечисленные вычисления, освобождая вас от необходимости вспоминать, что такое арктангенс и где его искать.

ольга ковалева
РЭМП «Геометрическая фигура Круг»

Организованная образовательная деятельность РЭМП «Геометрическая фигура КРУГ».

Коррекционно-развивающие: - развивать зрительную память, воображение, творчество, связную речь, расширяем словарный запас.

Образовательные: - уточнять знания детей о геометрической фигуре-круг;

Воспитательные: - воспитывать аккуратность при работе, внимательность, усидчивость, самостоятельность.

Демонстрационный материал: круг синего цвета, рисунок с изображением различных круглых предметов.

Раздаточный материал: задания на листочках на каждого ребенка, цветные карандаши.

Предметный: круг, рисунок, предметы.

Слова действия: отгадать, найти, закрасить.

Слова признаки: большой, синий.

познание, социально-коммуникативное, речевое, физическое.

Деятельность воспитателя

Ребята я сегодня принесла вам геометрическую фигуру, хотите узнать какую?

Отгадайте, пожалуйста, мою загадку:

«Нет углов у меня

И похож на блюдце я,

На кольцо, на колесо.

Кто же я такой, друзья?»

Правильно – это круг (показ геометрической фигуры).

Ваня и т. д. что это за геометрическая фигура?

Маша и т. д. круг, какого цвета?

Дима и т. д. круг, какого размера?

Ребята, поиграем еще в одну игру, которая называется «Посмотри и найди». Подойдите, пожалуйста, к мольберту. Перед вами рисунок, вы внимательно посмотрите и тот, кого я назову, выйдет и найдет предмет круглой формы и назовет его.

Молодцы! Вы так быстро нашли и назвали все предметы, потому, что вы какие?

Правильно дружные, у нас есть игра, которая так и называется «Друзья».

Играем в игру «Друзья».

Ф-ка «Друзья».

Молодцы! Предлагаю поиграть еще в одну игру, которая называется «Найди и закрась». Поиграем, подойдем к столу

Перед вами лежит рисунок, вы внимательно посмотрите, найдете только круги и закрасите их мальчики зеленым цветом, а девочки желтым цветом. Семен, какую геометрическую фигуру будешь искать? Дима, каким цветом будешь закрашивать круги? Серафима, каким цветом ты будешь закрашивать круги?

Чтобы пальчики вас слушались, надо поиграть с ними.

П/г «Веселые пальчики».

Самостоятельная деятельность детей. Индивидуальная помощь при необходимости.

Алиса, Ваня, Вика, какую фигуру ты закрашивал? Правильно круг. Скажем все вместе – круг.

Серафима, Алиса и т. д. каким цветом твои круги?

Коля, и т. д. каким цветом ты закрашивал круги?

Ребята вы сегодня молодцы!

Ребята поиграем в еще одну игру «Хлопни, топни, покружись». Если вам все понравилось, и вы со всем, справились, хлопните в ладошки, если вам было что-то сделать трудно и вы немного загрустили, покружитесь, ну а если кому-то было очень грустно и трудно, топните ножкой (воспитатель смотрит кто какие движения, показал, чтобы в дальнейшем проанализировать свое занятие).

Воспитатель хвалит детей за старательность.

Публикации по теме:

Цель:- познакомить с геометрической фигурой- овалом; -учить считать до 2; -учить соотносить цифру с количеством предметов; -закрепление.

Конспект НОД по ФЭМП «Игра-цирковое представление «Клоун Клепа». Геометрическая фигура треугольник» Конспект непосредственно-образовательной деятельности (НОД) по образовательной области «Познавательное развитие» НОД - ФЭМП Игра –цирковое.

Конспект НОД в коррекционной средней группе VII вида «Понятия длинный, короткий. Геометрическая фигура овал» Тема: «Понятия: короткий, длинный. Геометрическая фигура: овал» Цель: Учить сравнивать предметы по величине (короткий, длинный). Закреплять.

Конспект НОД по РЭМП Конспект НОД по РЭМП в средней группе. Задачи: 1. Развивать умение конструировать плоскостные фигуры, развивать воображение. 2. Закреплять.

Является теперь возможность установить иной взгляд на получение угла: каждый угол можно рассматривать, как результат вращения луча вокруг точки. Если мы имеем луч OA и, отметив его исходное положение, станем его вращать вокруг точки O (по плоскости), то, дойдя, например, до положения OM этого вращающегося луча, получим ∠AOM, являющийся результатом этого вращения (чер. 26).

Обратив внимание на какую-либо точку A этого луча OA, мы видим, что эта точка описывает во время вращения луча некоторую линию. Называем ее именем «круг» или «окружность». Так как точки O и A определяют отрезок OA, то устанавливаем возможность получения окружности вращением отрезка около одного из его концов. Строим круг при помощи циркуля (ножки циркуля являются как бы концами воображаемого отрезка) и вводим термины: центр, радиус, диаметр, площадь круга (или окружности), понимая под этим именем часть плоскости, ограничиваемую кругом (или окружностью), дуга и хорда. Является также возможность установить деление всех точек плоскости на точки внутри круга, на круге и вне круга. Легко также явится возможным установить возможность иметь на одном круге равные и неравные дуги.

Итак, круг рассматривается нами как линия, которую опишет, например, точка A при вращении отрезка OA около O (чер. 27). Но ясно, что мы получим все то же самое, если начнем вращение с радиуса OB (а не OA) или с радиуса OC или OD и т. п. Это обстоятельство является указанием на полную симметрию круга относительно центра (для учащихся этот род симметрии приходится выражать фразами вроде: «в круге, куда из центра ни смотреть бы, все должно быть одинаковым»). Эта симметрия позволит установить, что если, например, построить в разных местах круга равные хорды (AB = CD = EF …) (а это легко сделать при помощи циркуля, чер. 28) и соединить лучами концы этих хорд с центром O, то получим и равные дуги (◡AB = ◡CD = ◡EF = …) и равны центральные углы (∠AOB = ∠COD = ∠EOF = …). Также ясно, что если удастся построить при центре равные углы, то они высекут из круга равные дуги и определят собою равные хорды, стягивающие эти дуги. Итак, здесь устанавливается ряд положений: равным центральным углам в круге соответствуют равные хорды и равные дуги; равным хордам (или дугам) соответствуют равные центральные углы. Выясняется также, что большему центральному углу соответствует большая дуга и т. п. Подробнее на этом останавливаться не приходится, и тем более не следует из этих положений делать теоремы, подлежащие доказательствам, цель педагогического достижения здесь такова – должно сделать каждому ученику: 1) ясною симметрию круга относительно центра и 2) ясным, что из этой симметрии вытекают вышеуказанные положения.

Выясненными свойствами можно пользоваться для построения угла, равного данному, сначала при той же вершине, а затем, когда уяснится (а это делается легко, мимоходом), что круги с равными радиусами равны (конгруэнтны) и при разных вершинах (чер. 29). Пусть имеем ∠1; приняв его вершину за центр, строим круг произвольным радиусом, на этом круге определится дуга MN (или хорда MN, не построенная на чертеже), перенесем при помощи циркуля эту хорду (или дугу) на другое место круга, например, в положение M`N`, соединим концы этой хорды с центром, и мы должны получить угол, равный ∠1. Затем строим круг тем же радиусом, принимая за центр иную точку (а не точку O), после чего является возможным получить угол, равный ∠1 при другой вершине. (В моем курсе (Н. Извольский. – «Геометрия на плоскости») была избрана иная система. Опыт показывает мне предпочтительность системы, излагаемой в настоящей книге; поэтому в 3-м издании «Геометрии на плоскости» я провожу эту систему.) Вводятся упражнения: 1) построить угол, равный данному, при данной вершине так, чтобы одна его сторона шла по данному лучу; 2) построить сумму или разность двух заданных углов (имеющих разные вершины).

Далее, также опираясь на получение круга вращением отрезка, можно установить симметрию круга относительно диаметра: безразлично, вращать ли луч OA для получения круга по стрелке 1 или по стрелке 2 (чер. 30). Отсюда явствует, что части круга, расположенные по разные стороны диаметра AB, тождественны: если плоскость перегнуть по диаметру AB, то одна часть круга совпадет с другою.

Удобно, напомнив учащимся одну из их любимых забав в детстве (а именно: капнуть несколько капель чернил на лист бумаги, перегнуть его, размазать и, развернув его вновь, получить фигуру, симметричную относительно линии перегиба), здесь установить общее понятие о симметрии фигур относительно оси: если при перегибании плоскости по прямой линии одна часть какой-либо фигуры совпадает с другой, то эта фигура симметрична относительно прямой перегиба или эта прямая (перегиба) есть ось симметрии фигуры. Для круга осью симметрии может служить любой диаметр.

Если рассмотреть теперь фигуры (их можно строить по разному), состоящие из двух кругов, то учащиеся должны суметь найти ось симметрии каждой из этих фигур. Здесь уясняется симметрия точек пересечения двух кругов относительно их линии центров.

Урок математики в 1 классе с ГУО на тему: «Геометрическая фигура: круг»

Цель: Познакомить с геометрической фигурой – кругом. Учить отличать круг от других геометрических фигур и правильно его называть. Закрепить названия цветов. Воспитывать уважительное отношение друг к другу.

I Организационный момент.

1. Кто ходит в гости по утрам,

Тот поступает мудро!

Тарам-парам, тарам-парам,

На то оно и утро!

Дети, какое сейчас время суток? (утро)

Следом за утром приходит … (день)

Часто из гостей возвращаются, когда наступает….(вечер) (С помощью картинок)

2. Посмотрите внимательно на картинки, что на них общее? Чем они все похожи? (на всех картинках нарисовано солнце)

II. Сообщение темы.

Солнце круглое. Сегодня на уроке мы познакомимся с геометрической фигурой – кругом. Поучимся отличать его от других фигур, будем находить предметы круглой формы.

III. Знакомство с фигурой.

1.К нам на урок пришёл гость – Винни-Пух. Он прилетел на воздушных шарах. (Детям раздаются воздушные шары) Шар круглый. (Предложить обвести шар ладонью, пальцем.)

2. Посмотрите на Винни-Пуха, какие части тела у него круглые?

3. Вини-Пух очень любит покушать, и поэтому принёс с собой набор посуды (плоскостные изображения посуды круглой и квадратной формы). Но Вини-Пух любит есть только из посуды круглой формы. Помогите выбрать посуду круглой формы.

4. Пока Вини-Пух добирался до нас, у него разбилось несколько тарелок. Помогите, склейте их! (Дети собирают разрезную картинку)

Какой формы тарелка?

5. Посмотрите вокруг, найдите круглые предметы в нашем классе.

IV. Физ. минутка (хороводная игра)

Ровным кругом друг за другом

Мы идём за шагом шаг.

Дружно вместе все на месте

Делаем вот так!

(Водящий выбирается по очереди)

V. Закрепление изученного

1. У Вини-Пуха много друзей. Он принёс их портреты. (Изображения из геометрических фигур. Рассматриваем, обговариваем, кто это).

Скажите, что у них круглое?

2. Детям раздаются наборы геом.фигур. Найдите круг. (Тактильное обследование, прокатить круг по столу). Обговорить цвет и размер фигур.

Почему круг катится? (потому что нет углов)

Почему колёса круглые? (потому что нет углов, они могут катиться)

3. Выкладывание по образцу изображения из набора геом. фигур. (Друг Винни)

VI. Работа в тетради.

1. Пальчиковая гимнастика.
2. Объяснение задания.
3. Работа в тетради.

VII. Итог: С какой фигурой познакомились? Чем занимались на уроке?

Форма круга является интересной с точки зрения оккультизма, магии и древних значений, придаваемых ей людьми. Все мельчайшие составляющие вокруг нас - атомы и молекулы - имеют круглую форму. Солнце круглое, Луна круглая, наша планета тоже круглая. Молекулы воды - основы всего живого - тоже имеют круглую форму. Даже природа создает свою жизнь в кругах. Например, можно вспомнить про птичье гнездо - птицы вьют его также в этой форме.

Данная фигура в древних помыслах культур

Круг - это символ единства. Он присутствует в разных культурах во многих мельчайших деталях. Мы даже не придаем столько значения этой форме, как это делали наши предки.

Издавна круг - это знак бесконечной линии, который символизирует время и вечность. В дохристианскую эпоху он был древним знаком колеса солнца. Все точки в эквивалентны, линия круга не имеет ни начала, ни конца.

А центр круга был источником бесконечного вращения пространства и времени для масонов. Круг - конец всех фигур, недаром в нем была заключена тайна творения, по мнению масонов. Форма циферблата часов, имеющая тоже такую форму, обозначает собой непременное возвращение в точку отправления.

Эта фигура имеет глубокий магический и мистический состав, которым его наделили многие поколения людей из разных культур. Но что собой представляет круг как фигура в геометрии?

Что такое окружность

Часто понятие круга путают с понятием окружности. Это немудрено, ведь они между собой очень тесно взаимосвязаны. Даже названия их схожи, что вызывает много путаницы в незрелых умах школьников. Чтобы разобраться, «кто есть кто», рассмотрим эти вопросы подробнее.

По определению, окружностью является такая кривая, которая замкнута, и каждая точка которой находится равноудалённо от точки, именуемой центром окружности.

Что необходимо знать и чем уметь пользоваться, чтобы построить окружность

Чтобы построить окружность, достаточно выбрать произвольную точку, которую можно обозначить как О (именно так в большинстве источников именуются центр окружности, не будем отходить от традиционных обозначений). Следующим этапом идет использование циркуля - инструмента для черчения, который состоит из двух частей с закрепленными на каждой из них либо иглой, либо пишущим элементом.

Эти две части соединены между собой шарниром, что позволяет выбирать произвольный радиус в определенных границах, связанных с длиной этих самых частей. С помощью данного прибора в произвольную точку О устанавливается остриё циркуля, а карандашом уже очерчивается кривая, которая из итоге получается окружностью.

Какими величинами характеризуется окружность

Если соединить при помощи линейки центр окружности и любую произвольную точку на кривой, полученной в результате работы циркулем, мы получим Все такие отрезки, именуемые радиусами, будут равны. Если же соединить при помощи линейки прямой линией две точки на окружности и центр, мы получим ее диаметр.

Для окружности также характерно вычисление ее длины. Чтобы ее найти, необходимо знать либо диаметр, либо радиус окружности и воспользоваться формулой, представленной на рисунке ниже.

В этой формуле С - длина окружности, r - радиус окружности, d - диаметр, а число Пи - константа со значением 3,14.

Кстати, константа Пи была вычислена как раз из окружности.

Оказалось, что независимо от того, каков диаметр круга, соотношение длины окружности и диаметра одинаковое, равное примерно 3,14.

В чем же главное отличие круга от окружности

По сути, окружность - это линия. Она не является фигурой, она является кривой замкнутой линией, не имеющей ни конца, ни начала. А то пространство, что расположено внутри нее - это пустота. Простейшим примером окружности выступает обруч или, по-иному, хула-хуп, который дети используют на занятии физической культуры или же взрослые, для того чтобы создать себе стройную талию.

Теперь мы подошли к понятию того, что такое круг. Это в первую очередь фигура, то есть некое множество точек, ограниченных линией. В случае круга этой линией выступает окружность, рассмотренная выше. Выходит, что круг - это окружность, в середине которой не пустота, а множество точек пространства. Если натянуть на хула-хуп ткань, то мы уже не сможем его крутить, ведь он будет уже не окружностью - его пустота замещена тканью, куском пространства.

Перейдем непосредственно к понятию круга

Круг - геометрическая фигура, которая является частью плоскости, ограниченной окружностью. Для него также характерны такие понятия, как радиус и диаметр, рассмотренные выше при определении окружности. И вычисляются они точно таким же образом. Радиус круга и радиус окружности являются идентичными по размеру. Соответственно, длина диаметра тоже аналогична в обоих случаях.

Так как круг является частью плоскости, то для него характерно наличие площади. Вычислить ее можно снова-таки при помощи радиуса и числа Пи. Формула выглядит следующими образом (см. рисунок ниже).

В данной формуле S - площадь, r - радиус круга. Число Пи - снова та же константа, равная 3,14.

Формула круга, для вычисления которой возможно также использовать диаметр, изменяется и принимает вид, представленный на следующем рисунке.

Одна четвертая появляется из того, что радиус - это 1/2 диаметра. Если радиус в квадрате, выходит, что соотношение преобразуется до вида:

r*r = 1/2*d*1/2*d;

Круг - это фигура, в которой можно выделить отдельные части, например сектор. Выглядит он как часть круга, которая ограничена отрезком дуги и его двумя радиусами, проведенными из центра.

Формула, которая позволяет вычислить площадь данного сектора, представлена на нижеследующем рисунке.

Использование фигуры в задачах с многоугольниками

Также круг - геометрическая фигура, которая часто используется в комплекте с другими фигурами. Например, такими как треугольник, трапеция, квадрат или ромб. Нередко встречаются задачи, где нужно найти площадь вписанного круга или, наоборот, описанного вокруг определенной фигуры.

Вписанный круг является таким, который соприкасается со всеми сторонами многоугольника. С каждой стороной любого многоугольника у окружности должна быть точка соприкосновения.

Для определенного вида многоугольника определение радиуса вписанной окружности вычисляется по отдельным правилам, которые доступно объясняются в курсе геометрии.

Можно привести для примера несколько из них. Формула круга, вписанного в многоугольники, может вычисляться следующим образом (ниже на фото приведено несколько примеров).

Несколько простых примеров из жизни, для того чтобы закрепить понимание разницы между кругом и окружностью

Перед нами Если он открыт, то железная каемка люка - это окружность. Если он закрыт, то крышка выступает в роли круга.

Окружностью также можно назвать любое кольцо - золотое, серебряное или бижутерию. Кольцо, которое держит на себе связку ключей, - тоже окружность.

А вот круглый магнит на холодильнике, тарелка или блинчики, испеченные бабушкой, -это круг.

Горлышко бутылки или банки при виде сверху - это окружность, а вот крышка, которая закроет это горлышко, при том же виде сверху является кругом.

Таких примеров можно привести множество, и для усвоения такого материала их нужно приводить, чтобы дети лучше улавливали связь теории с практикой.