Алгоритм решения неравенств с логарифмами. Логарифмические неравенства. Как решать логарифмические неравенства

С ними находятся внутри логарифмов.

Примеры:

$\log_3⁡x≥\log_3⁡9$
$\log_3⁡ {(x^2-3)}< \log_3⁡{(2x)}$
$\log_{x+1}⁡{(x^2+3x-7)}>2$
$\lg^2⁡{(x+1)}+10≤11 \lg⁡{(x+1)}$

Как решать логарифмические неравенства:

Любое логарифмическое неравенство нужно стремиться привести к виду $\log_a⁡{f(x)} ˅ \log_a{⁡g(x)}$ (символ $˅$ означает любой из ). Такой вид позволяет избавиться от логарифмов и их оснований, сделав переход к неравенству выражений под логарифмами, то есть к виду $f(x) ˅ g(x)$.

Но при выполнении этого перехода есть одна очень важная тонкость:
$-$ если - число и оно больше 1 - знак неравенства при переходе остается прежним,
$-$ если основание - число большее 0, но меньшее 1 (лежит между нулем и единицей), то знак неравенства должен меняться на противоположный, т.е.

Примеры:

$\log_2⁡{(8-x)}<1$
ОДЗ: $8-x>0$
$-x>-8$
$x<8$

Решение:
$\log$$_2$ $(8-x)<\log$$_2$ ${2}$
$8-x$$<$ $2$
$8-2 \(x>6$
Ответ: $(6;8)$

$\log$$_{0,5⁡}$ $(2x-4)$≥$\log$$_{0,5}$ ⁡${(x+1)}$
ОДЗ: $\begin{cases}2x-4>0\\x+1 > 0\end{cases}$
$\begin{cases}2x>4\\x > -1\end{cases}$ $\Leftrightarrow$ $\begin{cases}x>2\\x > -1\end{cases}$ $\Leftrightarrow$ $x\in(2;\infty)$

Решение:
$2x-4$$≤$ $x+1$
$2x-x≤4+1$
$x≤5$
Ответ: $(2;5]$

Очень важно! В любом неравенстве переход от вида $\log_a{⁡f(x)} ˅ \log_a⁡{g(x)}$ к сравнению выражений под логарифмами можно делать только если:

Пример . Решить неравенство: $\log$$≤-1$

Решение:

$\log$$_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}$ $≤-1$	Выпишем ОДЗ.
ОДЗ: $\frac{3x-2}{2x-3}$ $>0$
$⁡\frac{3x-2-3(2x-3)}{2x-3}$ $≥$ $0$	Раскрываем скобки, приводим .
$⁡\frac{-3x+7}{2x-3}$ $≥$ $0$	Умножаем неравенство на $-1$, не забыв при этом перевернуть знак сравнения.
$⁡\frac{3x-7}{2x-3}$ $≤$ $0$
$⁡\frac{3(x-\frac{7}{3})}{2(x-\frac{3}{2})}$ $≤$ $0$	Построим числовую ось и отметим на ней точки $\frac{7}{3}$ и $\frac{3}{2}$ . Обратите внимание, точка из знаменателя – выколота, несмотря на то, что неравенство нестрогое. Дело в том, что эта точка не будет решением, так как при подстановке в неравенство приведет нас к делению на ноль.
$x∈($$\frac{3}{2}$ $;$$\frac{7}{3}]$	Теперь на ту же числовую ось наносим ОДЗ и записываем в ответ тот промежуток, который попадает в ОДЗ.
	Записываем окончательный ответ.

Ответ: $x∈($$\frac{3}{2}$ $;$$\frac{7}{3}]$

Пример . Решить неравенство: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$

Решение:

$\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Выпишем ОДЗ.
ОДЗ: $x>0$	Приступим к решению.
Решение: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Перед нами типичное квадратно-логарифмическое неравенство. Делаем .
$t=\log_3⁡x$ $t^2-t-2>0$	Раскладываем левую часть неравенства на .
$D=1+8=9$ $t_1= \frac{1+3}{2}=2$ $t_2=\frac{1-3}{2}=-1$ $(t+1)(t-2)>0$
	Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.
$\left[ \begin{gathered} t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.$	Преобразовываем $2=\log_3⁡9$, $-1=\log_3⁡\frac{1}{3}$.
$\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Делаем переход к сравнению аргументов. Основания у логарифмов больше $1$, поэтому знак неравенств не меняется.
$\left[ \begin{gathered} x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Соединим решение неравенства и ОДЗ на одном рисунке.
	Запишем ответ.

Ответ: $(0; \frac{1}{3})∪(9;∞)$

Неравенство называется логарифмическим, если в нём содержится логарифмическая функция.

Методы решения логарифмических неравенств не отличаются от , за исключением двух вещей.

Во-первых, при переходе от логарифмического неравенства к неравенству подлогарифмических функций следует следить за знаком получающегося неравенства . Он подчиняется следующему правилу.

Если основание логарифмической функции больше $1$, то при переходе от логарифмического неравенства к неравенству подлогарифмических функций знак неравенства сохраняется, а если же меньше $1$, то меняется на противоположный.

Во-вторых, решение любого неравенства – промежуток, а, значит, в конце решения неравенства подлогарифмических функций необходимо составить систему из двух неравенств: первым неравенством этой системы будет неравенство подлогарифмических функций, а вторым – промежуток области определения логарифмических функций, входящих в логарифмическое неравенство.

Практика.

Решим неравенства:

1. $\log_{2}{(x+3)} \geq 3.$

$D(y): \ x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Основание логарифма равно $2>1$, поэтому знак не меняется. Пользуясь определением логарифма, получим:

$x+3 \geq 2^{3},$

$x \in }

\(\log\)\(_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}\) \(≤-1\)	Выпишем ОДЗ.
ОДЗ: \(\frac{3x-2}{2x-3}\) \(>0\)
\(⁡\frac{3x-2-3(2x-3)}{2x-3}\) \(≥\) \(0\)	Раскрываем скобки, приводим .
\(⁡\frac{-3x+7}{2x-3}\) \(≥\) \(0\)	Умножаем неравенство на \(-1\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения.
\(⁡\frac{3x-7}{2x-3}\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac{3(x-\frac{7}{3})}{2(x-\frac{3}{2})}\) \(≤\) \(0\)	Построим числовую ось и отметим на ней точки \(\frac{7}{3}\) и \(\frac{3}{2}\) . Обратите внимание, точка из знаменателя – выколота, несмотря на то, что неравенство нестрогое. Дело в том, что эта точка не будет решением, так как при подстановке в неравенство приведет нас к делению на ноль.
\(x∈(\)\(\frac{3}{2}\) \(;\)\(\frac{7}{3}]\)	Теперь на ту же числовую ось наносим ОДЗ и записываем в ответ тот промежуток, который попадает в ОДЗ.
	Записываем окончательный ответ.

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Выпишем ОДЗ.
ОДЗ: \(x>0\)	Приступим к решению.
Решение: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Перед нами типичное квадратно-логарифмическое неравенство. Делаем .
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Раскладываем левую часть неравенства на .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac{1+3}{2}=2\) \(t_2=\frac{1-3}{2}=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.
\(\left[ \begin{gathered} t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Преобразовываем \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac{1}{3}\).
\(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Делаем переход к сравнению аргументов. Основания у логарифмов больше \(1\), поэтому знак неравенств не меняется.
\(\left[ \begin{gathered} x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Соединим решение неравенства и ОДЗ на одном рисунке.
	Запишем ответ.