Максимальная энергия магнитного поля катушки индуктивности. Магнитная энергия контура с током. Применение катушек индуктивности

Электрический ток обладает запасом так называемой магнитной энергии. Если в процессе вычисления данной энергии принимать все провода за идеально проводящие, то это не повлияет на результат, по той причине, что магнитная энергия зависима лишь от величины и распределения токов, а также от магнитных свойств заполняющей пространство среды.

Вывод формулы энергии магнитного поля

Для начала рассмотрим случай с одиночным неподвижным замкнутым контуром (витком проводника).

Пример 1

Пускай изначально сила тока в нем равняется нулю. Не важно каким способом доводим значение тока в витке до I . Вместе с ростом тока в контуре повышается и значение магнитного потока Ф, проходящего через него. Возникает электродвижущая сила (ЭДС) индукции. Элементарная работа, производимая внешним источником против ЭДС индукции, будет эквивалентна следующему выражению: δ A в н е ш = - ε и н д I d t .

Применяя закон Фарадея, выводим: δ A в н е ш = 1 c I d Φ .

Данное соотношение носит общий характер. Оно является справедливым и для ферромагнитных материалов, ведь в процессе его вывода относительно магнитных свойств среды не вводилось никаких предположений. Однако стоит отметить, что в случае, когда среда не обладает гистерезисом, к примеру, являясь пара- или диамагнетиком, δ A в н е ш будет применяться исключительно в целях роста значения магнитной энергии W m , соответственно:

d W m = I c d Φ .

Исходя из условий закона Био-Савара-Лапласа, можно заявить, что индукция магнитного поля тока линейно зависима от силы тока. В условиях переменной силы тока, протекающего по жесткому неподвижному контуру, картина силовых линий не претерпевает изменений, а индукция в каждой точке прогрессирует пропорционально силе тока. Соответственно, поток магнитной индукции Ф, проходящий через неизменную и недвижимую площадь, тоже пропорционален силе тока, по этой причине: Φ = L I c ,

где L представляет собой индуктивность контура, постоянный коэффициент пропорциональности, не обладающий зависимостью от силы тока и индукции магнитного поля. Подставим (5) в (4) , получим:

Из формулы (6) следует, что:

Определение 1

Формула W m = L 2 I c 2 = 1 2 c определяет энергию магнитного поля, формирующегося током (I) , который протекает по контуру с индуктивностью L .

Формула W m = L 2 I c 2 = 1 2 c может быть записана в следующем виде: W m = 1 c ∫ ∑ I i " d Φ i " .

Для справедливости формул W m = L 2 I c 2 = 1 2 c и I Φ = Φ 2 2 L незначительно, что виток в процессе возрастания тока остается неподвижным, по той причине, что энергия зависима лишь от состояния системы, а не от способа достижения такого состояния.

Примеры решения задач

Задание: Сила тока в витке эквивалентна I = 1 А. Магнитный поток Ф, проходящий через площадь витка составляет 100 м к В б. Найдите энергию магнитного поля в витке.

Решение

В качестве фундамента решения задачи примем формулу: W m = 1 2 I Φ .

Переведем величину магнитного потока, заданного в условиях задачи, в систему С И: 100 м к В б = 10 - 4 В б.

Проведем вычисления: W m = 1 2 · 1 · 10 - 4 = 5 · 10 - 3 (Д ж) .

Ответ: W m = 5 · 10 - 3 (Д ж) .

Пример 3

Задание: Рядом друг с другом расположены два витка проводника. По первому протекает ток I = 1 А. Второй соединен с баллистическим гальванометром, при выключении тока в контуре (1) через гальванометр проходит заряд q = 10 - 8 К л. Полное сопротивление цепи равно R = 5 О м. Чему равняется взаимная индуктивность витков?

Решение

Магнитная энергия (W m) витка с током может быть записана как: W m = L I 2 2 . С другой стороны энергия витка, который соединен с гальванометром, может быть рассчитана как: W m " = q U 2 . Заряд на втором контуре появляется благодаря тому, что он находится в переменном магнитном поле первого витка, и по закону сохранения энергии мы можем записать, что: W m " = W m . Следовательно, мы можем приравнять и правые части выражений W m = L I 2 2 и W m " = q U 2 , получим: L I 2 2 = q U 2 → L I 2 = q U . Из уравнения выше выразим индуктивность: L = q U I 2 . По закону Ома для участка цепи имеем: U = I R . Соответственно: L = q R I .

Эта задача может быть решена иным способом. Обозначим через ε 2 ЭДС индукции, которая вызвана переменным магнитным полем, которое создается в момент выключения тока в первом контуре: ε 2 = - L d I d t . ЭДС индукции можно записать по закону Ома следующим образом: ε 2 = I 2 R , где силу тока найдем как: I 2 = d q d t , в таком случае выражение ε 2 = I 2 R преобразуется в формулу вида: ε 2 = d q d t R . Приравняем правые части выражений ε 2 = - L d I d t и ε 2 = d q d t R , на выходе получим: - L d I d t = d q d t R → - L d I = R d q .

Проинтегрируем приведенную выше формулу с учетом того, что ток в первом контуре меняется от I до нуля, а заряд во втором от нуля до q , получим: - L ∫ I 0 d I = R ∫ 0 q d q → L I = R q → L = R q I .

Данный метод дает абсолютно такой же результат. Таким образом, раз все величины в условиях задачи приведены в системе С И, произведем вычисления: L = 10 - 8 · 5 1 = 5 · 10 - 8 (Г н) .

Ответ: L = 50 н Г н.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

При размыкании цепи в опыте (см. рис. 150, в) лампочка ярко вспыхивала. Откуда же бралась энергия, за счет которой в данном случае горела лампочка? Так как это происходило, когда цепь была отключена от источника тока, т. е. при уменьшении индукции магнитного поля катушки, то, следовательно, энергия, потребляемая лампочкой, была раньше запасена в виде энергии магнитного поля. При размыкании цепи оно начинает исчезать и запасенная в нем энергия в процессе самоиндукции превращается в энергию электрического тока, за счет которой горит лампочка. Из рассмотренного делаем вывод: магнитное поле обладает энергией.

Запас энергии магнитного поля катушки равен энергии, израсходованной источником тока на преодоление э. д. с. самоиндукции за весь тот промежуток времени, пока сила тока при замыкании цепи возрастала от нуля до некоторого значения I (см. рис. 150, б). Часть работы э. д. с. источника в катушке идет на нагревание ее проводов, а часть, равная э. д. с. самоиндукции Е ист = Е с , совершает работу против э. д. с. самоиндукции.

Работа тока, идущая на преодоление э. д. с. самоиндукции, равна энергии магнитного поля катушки:

А = W М = ΔЕ ист I ср Δt; W M = E c I cp Δt. (3)

Ток изменялся от 0 до I, следовательно, Поэтому Ток изменялся от 0 до I, тогда изменение тока ΔI = I. Значит,

Подставим Е с и I ср в формулу (3):

Получим формулу энергии магнитного поля катушки

Зависимость энергии магнитного поля катушки от ее индуктивности и силы тока в ней можно видеть на таком опыте. Увеличив реостатом силу тока в катушке, разомкнем цепь. В этом случае лампочка вспыхнула ярче, чем при малом токе в катушке. Значит, энергия магнитного поля катушки тем больше, чем больше сила тока в ней. Удалим из катушки половину сердечника, уменьшив тем самым ее индуктивность. Установим прежнюю силу тока в цепи и затем разомкнем ее. В этом случае лампочка вспыхивает менее ярко. Следовательно, энергия магнитного поля катушки тем больше, чем больше ее индуктивность. Энергия магнитного поля нами используется, например, в подъемном электромагнитном кране для притяжения кусков железа к сердечнику электромагнита крана, для получения тока во вторичной обмотке трансформатора.

Задача 36. В катушке без сердечника за 0,01 сек ток увеличился от 1 до 2 а, при этом в катушке возникла э. д. с. самоиндукции 20 в. Определить индуктивность катушки и изменение энергии ее магнитного поля.

Вокруг проводника с током существует магнитное поле, которое обладает энергией.
Откуда она берется? Источник тока, включенный в эл.цепь, обладает запасом энергии.
В момент замыкания эл.цепи источник тока расходует часть своей энергии на преодоление действия возникающей ЭДС самоиндукции. Эта часть энергии, называемая собственной энергией тока, и идет на образование магнитного поля. Энергия магнитного поля равна собственной энергии тока.
Собственная энергия тока численно равна работе, которую должен совершить источник тока для преодоления ЭДС самоиндукции, чтобы создать ток в цепи.

Энергия магнитного поля, созданного током, прямо пропорциональна квадрату силы тока.
Куда пропадает энергия магнитного поля после прекращения тока? - выделяется (при размыкании цепи с достаточно большой силой тока возможно возникновение искры или дуги)

Магни́тное по́ле - силовое поле, действующее на движущиеся электрические заряды и на тела, обладающие магнитным моментом, независимо от состояния их движения. Магнитное поле может создаваться током заряженных частиц, либомагнитными моментами электронов в атомах (постоянные магниты). Можно также рассматривать магнитное поле как релятивистскую составляющую электрического поля. Точнее, магнитные поля являются необходимым следствием существования электрических полей и специальной теории относительности. Вместе, магнитное и электрическое поля образуют электромагнитное поле, проявлениями которого являются свет и прочие электромагнитные волны. Электромагни́тное по́ле - фундаментальное физическое поле, взаимодействующее с электрически заряженными телами, представимое как совокупность электрического и магнитного полей, которые могут при определённых условиях порождать друг друга.

43. Если неподвижные заряды возбуждают электростатическое поле, то возникает силовое поле, которое действует на движущиеся заряды.

Всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем простран­стве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре. по Максвеллу, изменяющееся во времени магнитное поле порождает элект­рическое поле Е B , циркуляция которого, по

где Е Bl - проекция вектора Е B на направление dl .

Подставив в формулу выражение , получим

циркуляция вектора напряженности электростатического поля (обозначим его E Q) вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

44. Видно, что между рассматриваемыми полями (E B и Е Q ) имеется принципиальное различие: циркуляция вектора E B в отличие от циркуляции вектора E Q не равна нулю. Следовательно, электрическое поле E B , возбуж­даемое магнитным полем, как и само магнитное поле, является вихревым .

Согласно Максвеллу, если всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружа­ющем пространстве вихревое электрическое поле, то должно существовать и обратное явление: всякое изменение электрического поля должно вызывать появление в окружающем пространстве вихревого магнитного поля. Для рассмотрения этого вопроса Максвелл ввёл понятие ток смещения.

По Максвеллу, переменное электрическое поле в конденсаторе в каждый момент времени создает такое магнитное поле, как если бы между обклад­ками конденсатора существовал ток смещения, равный току в подводящих проводах. Тогда можно утверждать, что токи проводимости (I ) и смещения (I см) равны: I см =I.

Ток проводимости вблизи обкладок конденсатора

(поверхностная плотность заряда s на обкладках равна электрическому смещению D в конденсаторе). для общего случая можно записать

Сравнивая это выражение с , имеем

было названо Максвеллом плотностью тока смещения .

Самоиндукция. Взаимная индукция.

Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, создаёт вокруг себя магнитное поле, индукция которого, согласно закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна току B ~ I :

Магнитный поток пропорционален магнитной индукции Ф ~ В .

Тогда сцепленный с контуром магнитный поток Ф пропорционален току в контуре:

Коэффициент пропорциональности L в этой формуле называется коэффициентом самоиндукции или индуктивностью контура (катушки). Единица индуктивности в СИ называется генри (Гн). Индуктивность контура или катушки равна 1 Гн, если при силе постоянного тока 1 А собственный поток равен 1 Вб:

При изменении силы тока в контуре будет изменяться и сцепленный с ним магнитный поток. Возникновение ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении силы тока в нём, называется самоиндукцией.

Самоиндукция является важным частным случаем электромагнитной индукции, когда изменяющийся магнитный поток, вызывающий ЭДС индукции, создается током в самом контуре. Если ток в рассматриваемом контуре по каким-то причинам изменяется, то изменяется и магнитное поле этого тока, а, следовательно, и собственный магнитный поток, пронизывающий контур. В контуре возникает ЭДС самоиндукции, которая согласно правилу Ленца препятствует изменению тока в контуре.

ЭДС самоиндукции , возникающая в контуре, согласно закону Фарадея равна:

.

Если контур не деформируется и магнитная проницаемость среды не изменяется, то L= сonst и

где знак «−», обусловленный правилом Ленца, показывает, что наличие индуктивности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нём.

ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна индуктивности катушки и скорости изменения силы тока в ней.

Второй частный случай электромагнитной индукции: взаимная индукция − явление возникновения ЭДС в одном из контуров при изменении силы тока в другом контуре.

Если ток I 1 изменяется, то в контуре 2 индуцируется ЭДС , которая по закону Фарадея равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф 12 , созданного током в 1 контуре и пронизывающего 2-ой:

,

где L 12 – коэффициент пропорциональности, зависящий от геометрии контуров 1 и 2 и их взаимного расположения.

Если ток I 2 изменяется, то в контуре 1 индуцируется ЭДС , которая по закону Фарадея равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф 21 , созданного током во 2 контуре и пронизывающего 1-ый:

.

Коэффициенты пропорциональности L 12 и L 21 называются взаимной индуктивностью контуров. Расчёты, подтверждаемые опытом, показывают, что L 12 = L 21 .

Магнитное поле обладает энергией. Подобно тому, как в заряженном конденсаторе имеется запас электрической энергии, в катушке, по виткам которой протекает ток, имеется запас магнитной энергии. Если включить электрическую лампу параллельно катушке с большой индуктивностью в электрическую цепь постоянного тока, то при размыкании ключа наблюдается кратковременная вспышка лампы (рис. 1). Ток в цепи возникает под действием ЭДС самоиндукции. Источником энергии, выделяющейся при этом в электрической цепи, является магнитное поле катушки.

Рис.1. Магнитная энергия катушки.

При размыкании ключа K лампа ярко вспыхивает

Формулу для энергия W м магнитного поля можно получить графическим методом, изобразив на графике зависимость магнитного потока Φ (I ) от тока I (рис. 2). Полное количество выделившейся теплоты, равное первоначальному запасу энергии магнитного поля, определяется площадью изображенного на рис. 2 треугольника.

Энергия катушки индуктивности (W) - это энергия магнитного поля, порождаемого электрическим током I, текущим по проводу данной катушки. Главная характеристика катушки - ее индуктивность L, то есть способность создавать магнитное поле при похождении по ее проводу электрического тока. У каждой катушки индуктивность и форма свои, поэтому и магнитное поле для каждой катушки будет отличаться величиной и направлением, хотя ток может быть абсолютно одинаковым.

В зависимости от геометрии конкретной катушки, от магнитных свойств среды внутри и около нее, - создаваемое пропускаемым током магнитное поле в каждой рассматриваемой точке будет обладать определенной индукцией B, как и величина магнитного потока Ф - тоже будет определенной на каждой из рассматриваемых площадок S.

Если попытаться объяснить совсем просто, то индукция показывает интенсивность магнитного действия (связанного ), которое способно оказать данное магнитное поле на проводник с током, в это поле помещенный, а магнитный поток обозначает то, как распределена магнитная индукция по рассматриваемой поверхности. Таким образом, энергия магнитного поля катушки с током локализована не непосредственно в витках катушки, а в том объеме пространства, в котором существует магнитное поле, c током катушки связанное.

То, что магнитное поле катушки с током обладает реальной энергией, можно обнаружить экспериментально. Соберем схему, в которой параллельно катушке с железным сердечником подключим лампу накаливания. Подадим на катушку с лампочкой постоянное напряжение от источника питания. В цепи нагрузки тут же установится ток, он потечет через лампочку и через катушку. Ток через лампочку будет обратно пропорционален сопротивлению ее нити накала, а ток через катушку - обратно пропорционален сопротивлению провода, которым она намотана.

Ежели сейчас резко разомкнуть тумблер между источником питания и цепью нагрузки, то лампочка кратковременно но довольно заметно вспыхнет. Это значит, что когда мы отключили источник питания, ток из катушки устремился в лампу, а значит данный ток в катушке был, он имел вокруг себя магнитное поле, и в момент исчезновения магнитного поля в катушке возникла ЭДС.

Данная индуцированная ЭДС называется ЭДС самоиндукции, поскольку навелась она собственным магнитным полем катушки с током на саму эту катушку. Тепловое действие Q тока в данном случае можно выразить через произведение величин тока, который был установлен в катушке на момент размыкания тумблера, сопротивления R цепи (провода катушки и лампы) и продолжительности времени исчезновения тока t. Напряжение, которое возникло на сопротивлении цепи, можно выразить через индуктивность L, полное сопротивление цепи R, а также с учетом времени исчезновения тока dt.

Применим теперь выражение для энергии катушки W к частному случаю - к соленоиду с сердечником, обладающим определенной магнитной проницаемостью, отличной от магнитной проницаемости вакуума.

Для начала выразим магнитный поток Ф через площадь сечения S соленоида, количество витков N и магнитную индукцию B по всей его длине l. Распишем сначала индукцию B через ток витка I, число витков на единицу длины n, и магнитную проницаемость вакуума.

Подставим затем сюда объем соленоида V. Мы нашли формулу для магнитной энергии W, и имеем право взять отсюда величину w – объемную плотность магнитной энергии внутри соленоида.

Джеймс Клерк Максвелл в свое время показал, что выражение объемной плотности магнитной энергии справедливо , но и для магнитных полей вообще.